TEMA 9 ÁNGULOS

Ángulos correspondientes Los ángulos 1 y 2 son iguales.	Ángulos alternos internos Los ángulos 2 y 3 son iguales.	Ángulos alternos externos Los ángulos 1 y 4 son iguales.

4.    Grados y Radianes

La unidad de medida de ángulos más conocida es el grado.  La vuelta completa tiene 360° y el ángulo recto 90°.  Pero también existen otras unidades de medidas angulares, tal el caso del Radián.

Se le llama Radián al ángulo que tiene un arco de la misma longitud que su radio.  En el caso de la amplitud de la circunferencia completa, ésta mide 2π (se lee dos pi; pi = letra griega “p” de nuestro alfabeto, cuyo valor número es 3.141592…) radianes y, al mismo tiempo, 360°, esto implica que 2π radianes = 360° y por tanto, que: 

1 radián = 360°/2 π = 360°/(2)(3.141592…) = 57.29577951… » 57° 17’ 45”
 

También: 

1 radián = 180°/π = 180/3.141592… = 57.29577951… » 57° 17’ 45”

Como 180° es la mitad de 360°, el ángulo llano (180°) medirá la mitad del ángulo completo, es decir, π radianes.

Es fácil deducir las relaciones entre las medidas, tal como se muestran en la siguiente tabla:

  Ejemplos:

1)    Hallar la equivalencia en radianes de los ángulos: 40° y 135°

Puesto que 180° = π radianes, se tiene que 40° = 40°/180°π = 2π/9 radianes.

De modo similar: 135° = 135°/180°π = 45°/60°π = 15°/20°π = 3π/4 radianes.

2)    Hallar la equivalencia en grados de los ángulos 2π/3 y de 3 radianes.

2π/3 radianes son: (2π/3) (180°/π) = 240°/2 = 120°

3 radianes = (3) (180°/π) = (3x180)/ 3.141592… = 171.8873385°

Tomamos la parte decimal de los grado 0.8873385 y lo multiplicamos por 60, para calcular los minutos:

0.8873385 X 60 = 53.24031

Seguidamente tomamos la parte decimal de los minutos y multiplicamos por 60 para calcular los segundos:

0.24031 X 60 = 14.418 = 14 segundos.

Para dar la respuesta tomamos las unidades enteras de los grados, minutos y segundo, por lo tanto, el resultado es 3 radianes = 171° 53’ 14”.

5.    Operaciones con ángulos

En los temas anteriores hemos aprendido a operar con números naturales, números enteros, fracciones, razones y proporciones. Ahora le ha llegado el momento a los ángulos.

Antes de realizar operaciones con ángulos, es necesario considerar las divisiones del grado sexagesimal, éstas son las mismas que la hora, es decir:

1 hora = 60 minutos; 1 minuto = 60 segundos.

Si tenemos que el tiempo que hizo un atleta en una maratón fue de: 2h. 45’ 38”, equivale a decir que el maratonista empleó 2 horas, 45 minutos y 38 segundos.

De igual forma:

1 grado sexagesimal = 60 minutos; 1 minuto = 60 segundos.

Si tenemos que la lectura de un ángulo es: 32° 14’ 30”, equivale a decir que es un ángulo que mide 32 grados, 14 minutos y 30 segundos.

Aclarado lo anterior, empecemos operaciones son ángulos:

     a.    Suma de ángulos

Los pasos que debemos llevar a cabo para sumar dos ángulos son:

1º. Colocamos un ángulo debajo de otro, haciendo coincidir segundos con segundos, minutos con minutos y grados con grados, quedando determinadas de esta manera tres columnas.

2º. Sumamos cada uno de las columnas anteriores por separado.

3º. Tenemos que dejar todas las unidades, excepto los grados, con un número menor que 60 (entre 0 y 59).  Para ello, comenzando por el final, es decir, por los segundos, en el caso de que sea mayor o igual a 60, a esta cantidad le restamos 60, de tal forma que la diferencia será el número de segundos, y le sumaremos una unidad a los minutos que ya tenemos, y el resto serán, como se indicó anteriormente, los segundos que quedarán.  Este proceso se repetirá con los minutos obtenidos si son mayor o igual de 60.

Ejemplo:

Realizar la suma de los siguientes ángulos: Â= 34° 13′ 54″ y Ḃ= 18° 40′ 27″.

1º y 2º. Colocamos la suma por columnas y sumamos:

3º. Como nos han salido 81 segundos, dividimos entre 60, 81:60, obtenemos de cociente 1, y de resto 21.  Por tanto, sumamos un minuto a los que teníamos antes, (53+1=54′), obteniendo el siguiente resultado:

34° 33’ 54”

 + 18° 40’ 27”

    52° 73’ 81”, a 81” le restamos 1’ (un minuto), es decir, 60” y este minuto se suma a los que ya teníamos,

            (–) 60”               porque 81” = 1’ 21”

      (+)  1’___

    52° 74’ 21”  a 74’ le restamos 1° (un grado), es decir, 60’ y este grado se suma a los que ya teníamos, porque

     (–) 60’                       74’ = 1°14’    

(+) 1°_____

    53°14’ 21”                          

b.    Resta de ángulos

Los pasos que tenemos que seguir para poder restar ángulos son un poco más complejos:

1º. En primer lugar, igual que en el caso anterior, colocamos nuestro ángulos uno debajo de otro diferenciando en tres columnas.

2º. Una vez colocado, comenzamos a restar, empezando por los segundos.  A la hora de restar, podemos encontrarnos con la situación de que el número de arriba sea menor que el de abajo, entonces, para poder hacer la resta, tendremos que quitar una unidad del orden superior (los minutos) y sumarle entonces 60 de tal forma que ya podremos realizar la resta.  Este paso, se realizará las veces que sea necesario.

Ejemplo:

Dados los siguientes ángulos: Â= 34 = 38° 13′ 41″ y Ḃ = 25° 47′ 6″, realiza la siguiente resta: Â – Ḃ

1º. Colocamos los ángulos y restamos.

           38° 13’ 41”

–     25° 47’ 06”  como a 13’ no le podemos restar 47’, le prestamos 60’ a 38°, y los sumamos 13’ + 60’

37° 73’ 41”  es igual a 73’ y 38° queda con valor de 37°

                –   25° 47’ 06
                     12° 26’ 35”
 

c.    Producto de un ángulo por un número natural

Cuando multiplicamos un número por un ángulo seguimos los siguientes pasos:

1º. Multiplicamos cada unidad por el número entero, tanto los grados, minutos y segundos.
2º. Por último, al igual que en la suma, dejamos todas las unidades excepto los grados entre 0 y 59.

Ejemplo: Multiplicar el ángulo  = 27° 18′ 34″ por 4.

1º. Multiplicamos cada unidad como hemos indicado:

             27°  18´   34”

      X                       4

           108°  72’  136”

2º. Pasamos los segundos a minutos, que se añaden a los que tenemos, y por último se cambian los minutos.

       136” = 2’ 16”      El resultado cambia a: 108° 74’ 16”

Seguidamente, 74’ = 1° 14’, por lo tanto el resultado final será:

      109° 14’ 16”

d.    División de un ángulo por un número natural

Cuando dividimos un ángulo por un número entero seguimos los siguientes pasos:

Para dividir el ángulo, al revés que en los casos anteriores, comenzamos dividiendo los grados por el número entero, el resto obtenido, se multiplica por 60 y se pasa a los minutos.  Repetimos el mismo proceso con los minutos y por último se dividen los segundos.

Ejemplo: Dividir el ángulo  = 46° 53′ 18″, por el número 3.

1º. Comenzamos dividiendo los grados:

                           _15°__37’      46”_

                      3   | 46°    53′      18″

                             45°

                               1°=  60’

                                     113’

                                     111’

                                         2’= 120”

                                               138”

                                               138”

                                                   0
                          

En el siguiente enlace podrás apreciar las formas correctas de medir ángulos:
matematicasparaticharito.wordpress.com/tag/angulos/ 

Para a que practiques de manera interactiva, visita el enlace:
www.vitutor.com/geo/eso/el_6e.html

Referencias

Bibliografía:

Casiá, F, Palencia, I, Guinter, R & Palala, Z. (2011).  Matemática 8. Editorial Santillana.  Guatemala.

Santos, D. Zamora, R. Bautista, M, et.al. (2011). Geometría y Trigonometría.  Colección Manuales.  Grupo Santillana.  Ecuador.

e-Grafía: 

https://matematica.laguia2000.com/general/operaciones-con-angulos 

http://rea.ceibal.edu.uy/contenidos/areas_conocimiento/mat/angulos2/clasificacin_de_ngulos_segn_su_medida.html 

http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/ 

http://www.icarito.cl/2009/12/102-8681-9-1-angulos.shtml/ 

http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-19_RESOURCE/U19_L2_T1_text_final_es.html