LA MATEMATICA DA INTELEGENCIA Y LA INTELIGENCIA DA BELLEZA
TEMA 12 VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS
TEMA No. 12
VOLUMEN DE CUERPOS SÓLIDOS
Competencia a desarrollar: Resuelve problemas con el uso de las matemáticas en los que pueda comparar y representar cantidades por medio del empleo de los volúmenes.
1. Definición de volumen
El concepto volumen proviene del latín volūmen. El volumen como magnitud es entendido como el espacio que ocupa un cuerpo. La misma posee tres dimensiones: alto, ancho y largo.
Según el Sistema Internacional de Unidades, el volumen es representado por el metro cúbico. En la vida cotidiana el litro también puede ser considerado como una unidad del volumen. Además este sistema permite catalogar al volumen en tres clases.
a. En primer lugar pueden ser mencionadas las unidades de capacidad. Este tipo de unidades son utilizadas para calcular el espacio que ocupan las cosechas que se hayan almacenadas, por ejemplo gracias a ella se calcula el volumen de papas, zanahorias, manzanas, etc. Si bien este sistema ya ha sido remplazado por nuevas tecnologías, en la antigüedad resultaba una práctica corriente ya que no existían otros métodos más adecuados.
b. En segundo lugar pueden ser mencionadas las unidades de volumen en estado líquido. Este tipo de unidades se utilizan para calcular el espacio que ocupan los líquidos cuando se encuentran en un recipiente. La unidad elemental es en este caso el decímetro cúbico.
c. En tercer y último lugar se pueden mencionar las unidades de volumen en estado sólido. En este caso el volumen es calculado por medio de unidades que son elevadas a la tercera potencia. Estas serán siempre unidades de longitud. Esta es una práctica muy utilizada en la disciplina de la geometría y es de allí de donde proviene su nombre. En este caso el metro cúbico es la unidad elemental. Uno de sus múltiplos es el kilómetro cúbico, mientras que uno de sus submúltiplos es el centímetro cúbico.
2. Volumen de cuerpos sólidos
a. Pirámide:
Una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común, que es el vértice de la pirámide.
Los elementos de una pirámide son los siguientes:
La altura de la pirámide es el segmento perpendicular a la base, que une la base con el vértice.
Las aristas de la base se llaman aristas básicas y las aristas que concurren en el vértice, aristas laterales.
La apotema lateral de una pirámide regular es la altura de cualquiera de sus caras laterales.
Las pirámides se clasifican en:
Pirámide regular:
La pirámide regular tiene de base un polígono regular y sus caras laterales iguales.
Pirámide irregular:
La pirámide irregular tiene de base un polígono irregular.
Pirámide convexa:
La pirámide convexa tiene de base un polígono convexo.
Pirámide cóncava:
La pirámide cóncava tiene de base un polígono cóncavo.
Pirámide recta:
En la pirámide recta todas sus caras laterales son triángulos isósceles y la altura cae al punto medio de la base.
Pirámide oblicua:
En la pirámide oblicua alguna de sus caras laterales no es un triángulo isósceles.
Según su base las pirámides se clasifican en:
Pirámide triangular:
La pirámide es triangular cuando su base es un triángulo.
Pirámide cuadrangular:
La pirámide es cuadrangular cuando su base es un cuadrado:
Pirámide pentagonal:
La pirámide es pentagonal cuando su base es un pentágono.
Pirámide hexagonal:
La pirámide es hexagonal cuando su base es un hexágono.
Volumen de la pirámide:
El volumen de una pirámide es un tercio del área de la base de la pirámide (Ab) y su altura (h).
Volumen = 1/3 * Ab * h
Donde Ab es el área de la base y h es
la altura de la pirámide.
La pirámide regular tiene como base un polígono regular y es recta. Sea una pirámide regular con la base de N aristas.
La fórmula del volumen de la pirámide regular es:
Volumen = N * L * apb * h, donde:
N es el número de lados de la base, L su longitud, apb la apotema de la base y h la altura de la pirámide.
La siguiente fórmula se obtiene sustituyendo el área de la base (Ab), que en este caso es el área del polígono regular:
Volumen = 1/3 * Ab * h
Ejemplos:
1.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.
Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.
(recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).
Área total = Área lateral + Área de la base
AT = AL + Ab
Área lateral = un medio del perímetro de la base x apotema del poliedro.
Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular. Es el área coloreada.
Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide cuadrangular especificada.
Ahora obtenemos el volumen de la pirámide cuadrangular sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.
2.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular triangular cuyas medidas son las que se muestran en la gráfica siguiente:
Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras triangulares, sin la base), coloreadas en la figura de abajo.
Recordemos que en una pirámide regular la altura de cada uno de los triánguloslaterales (caras), llamada apotema del poliedro (Ap), es igual a la altura del triángulo lateral.
Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es un triángulo equilátero. Es el área coloreada.
Por último, sumamoslos valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide regular triangular especificada.
Ahora obtenemos el volumen de la pirámide triangular con la siguiente fórmula:
Observemos que se desconoce la medida de la altura (h) de la pirámide.
Ésta se obtiene a través del Teorema de Pitágoras que dice: c² = a² + b², donde c es igual a Ap (12 cm) y b es igual a la mitad de la altura de la base (la mitad de 5.19 = 2.595). El valor que se busca es a, que es la altura de la pirámide y la encontramos restando b² = c² – a²
Veamos en la siguiente imagen:
Ahora que ya tenemos el valor de la altura de la pirámide (h = 11.7160 cm), obtenemos el volumen de la pirámide:
b. Prisma
Un prisma es un cuerpo geométrico (un poliedro) que tiene dos bases iguales y paralelas entre sí, llamadas bases (que pueden ser cualquier polígono) y un número de caras laterales igual al número de lados del polígono de sus bases, y que son siempre paralelogramos (cuadrados, rectángulos, rombos o romboides).
Características:
a. Su número de caras se obtiene sumándole ‘2’ al número de lados del polígono de su base.
b. Su número de vértices se calcula multiplicando por ‘2’ el número de lados del polígono de la base.
c. Su número de aristas se calcula multiplicando por ‘3’ el número de lados del polígono de la base.
d. Los polígonos que forman sus bases se llaman directrices. Sus caras laterales solo pueden ser cuadrados, rectángulos, rombos o romboides (paralelogramos).
e. Los prismas rectos tienen cuadrados o rectángulos en sus caras laterales, y los oblicuos, cualquier paralelogramo.
f. Existen infinitas posibilidades de tipos de prismas (y de sus variantes): distintas bases, distinta altura…
Tipos de prismas y formas de nombrarlos:
Los prismas se pueden clasificar según distintos criterios. Además, estos mismos criterios se utilizan para nombrarlos.
1º) Los prismas se clasifican y se nombran según el número de lados del polígono de la base: triangular, cuadrangular, rectangular, romboidal, romboideal, trapezoidal, trapezoidal, pentagonal, hexagonal, heptagonal…
2º) Se clasifican (y se nombran) según si el polígono de la base es regular (o simétrico) o irregular (o asimétrico).
3º) Se clasifican (y se nombran) según si el polígono de la base es convexo o cóncavo.
4º) Se clasifican (y se nombran) según si son rectos (todas sus caras laterales son rectángulos) u oblicuos o inclinados. Normalmente, solo se cita este tipo si es oblicua o inclinada, y cuando es recta no se suele decir nada.
5º) Si están truncados o no. En realidad, los prismas truncados, no son prismas, ya que no cumplen su definición (sus caras ya no están paralelas ni son iguales). Pueden estar truncados (cortados) con distintos grados de inclinación, una o más veces…
6º) Algunos autores también incluyen la altura del prisma, pues según su altura, tendremos distintos tipos de prismas.
Casos específicos de prismas:
Los prismas son poliedros muy utilizados en todos los ámbitos de la vida. Además, tienen una geometría muy determinada, lo que permite distinguir 3 tipos de prismas con características específicas: PARALELEPÍPEDOS.
Son poliedros, concretamente prismas que cumplen las siguientes condiciones:
a. Tienen 6 caras (12 aristas y 8 vértices).
b. Todas sus caras son paralelogramos: cuadrados, rectángulos, rombos o romboides.
c. Sus caras son dos a dos iguales y paralelas: 3 pares de caras paralelas e iguales.
* Cualquier prisma cuyas bases sean paralelogramos, será un paralelepípedo.
Existen 5 formas de paralelepípedos: recto, oblicuo, ortoedro, romboedro y cubo.
a. Paralelepípedo recto: sus bases pueden ser cuadrados, rombos o romboides y sus caras laterales 4 rectángulos iguales. Es un prisma cuadrangular, rómbico y romboidal recto.
b. Paralelepípedo oblicuo: sus bases son cuadrados y sus caras laterales 2 rectángulos iguales y 2 romboides iguales. Es un prisma cuadrangular oblicuo (o inclinado).
c. Ortoedro: todas sus caras son rectángulos. Es un prisma rectangular recto.
d. Romboedro: todas sus caras son rombos, siempre iguales. Es un prisma rómbico inclinado.
e. Cubo: todas sus caras son cuadrados. Es un poliedro regular o sólido platónico: hexaedro regular.
Volumen de un prisma:
Las fórmulas generales para obtener el área y el volumen de cualquier prisma son las siguientes:
Las fórmulas generales para obtener el área y el volumen de cualquier prisma son las siguientes:
Resolvamos ejemplos específicos.
1.- Hallar el área total y el volumen de un prisma triangular cuya base mide 10 x 43 y con una altura de 42 cm; si la altura el prisma mide 60 cm.
Nos enfocamos en la forma de las bases del prisma para despejar estas fórmulas. El problema indica que es un prisma triangularcon las siguientes medidas.
Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras) que es el área coloreada.
Y ahora el área de las bases. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es triangular; y después el resultado se multiplicará por 2 (ya que el prisma tiene dos bases iguales, en este caso, triángulos isósceles). Es el área coloreada.
Por último sumaremos los valores del área lateral y del área de las dos bases para obtener el área total del prisma triangular especificado.
Ahora obtenemos el volumen del prisma triangular sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del triángulo y multiplicando por la altura del poliedro.
2.- Hallar el área total y el volumen de un prisma cuadrangular regular cuyo lado de la base mide 1.20 m y la altura de 4 m.
Nos enfocamos en la forma de las bases del prisma para despejar estas fórmulas. El problema indica que es un prisma cuadrangular regular; que es el prisma que tiene como bases dos cuadrados y sus caras son cuatro rectángulos iguales.
Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras rectangulares iguales) que es el área coloreada.
Y ahora el área de las bases. Para ello en la fórmula general vamos a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular; y después el resultado se multiplicará por 2 (ya que el prisma tiene dos bases iguales, en este caso, cuadrados). Es el área coloreada.
Por último sumaremos los valores del área lateral y del área de las dos bases para obtener el área total del prisma cuadrangular regular especificado.
Ahora obtenemos el volumen del prisma cuadrangular regular sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.
c. Cubo
Cubo o hexaedro regular es un poliedro limitado por seis caras cuadradas congruentes. Es uno de los denominados sólidos platónicos.
Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectangular, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos. Incluso, se puede entender como un prisma recto, cuya base es un cuadrado y su altura equivalente al lado de la base.
El hexaedro regular, al igual que el resto de los sólidos platónicos, cumple el Teorema de Euler para poliedros, pues tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas (8+6=12+2).
Elementos de un cubo:
· Cara, viene a ser cada una de las regiones cuadradas que limitan el cubo. En total son seis. Cada par de caras tienen un lado común. Cada cara tiene otras cuatro caras, lados comunes, excepto con una que se llama cara opuesta. Hay tres pares de caras opuestas.
· Arista, es un lado común a dos caras. En total hay doce aristas del cubo. Para cada arista hay otras aristas que son concurrentes, paralelas o que se cruzan.
· Vértice. Tres caras (respectivamente tres aristas) tiene un punto común que se llama vértice del cubo. Por todo, hay ocho vértices.
· Diagonal. Sean dos caras opuestas que permiten definir una correspondencia biyectiva. Del vértice de la primera cara se traza un segmento al vértice opuesto de su homólogo en la cara opuesta. Dicho segmento se llama diagonal del cubo. En total hay cuatro diagonales del cubo. Se cortan en un punto único.
· Centro, es la intersección de las diagonales del cubo.
Volumen y área:
V = a * a * a = a3, siendo “a” una arista (lado) del cubo.
A = 6 Ac = 6 a2
Ejemplos:
1.- Hallar el volumen de un cubo de arista 3 cm tal como se muestra en la gráfica siguiente:
Solución:
Aplicamos la fórmula del volumen del cubo:
Volumen = a3 = 33 = 27 cm3
El volumen de un cubo de arista 3 cm es de 27 cm3.
2.- Hallar el volumen de un cubo cuya diagonal es de 4 cm.
Solución:
Aplicamos la fórmula de la diagonal del cubo:
D = √3 * a
Sustituimos el valor de la arista a y lo sustituimos en la fórmula, con lo que hallaremos la arista a.
a = _D_ = _4_ = 2.3094 cm
√3 √3
Ahora aplicamos la fórmula del volumen del cubo:
Volumen = a3 = 2.30943 = 12.316 = 12.32 cm3
d. Cilindro
En geometría, un cilindro es una superficie de las denominadas cuadráticas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, denominada directriz del cilindro.
Si la directriz es un círculo y la generatriz es perpendicular a él, entonces la superficie obtenida, llamada cilindro circular recto, será de revolución y tendrá por lo tanto todos sus puntos situados a una distancia fija de una línea recta, el eje del cilindro. El sólido encerrado por esta superficie y por dos planos perpendiculares al eje también es llamado cilindro.
Un cilindro esuna superficie cilíndrica que se forma cuando una recta llamada generatriz gira alrededor de otra recta paralela,eje. Otra forma de definirlo es: el cuerpo geométrico generado por un rectángulo cuando girar uno de sus lados.
Existen diferentes tipos de cilindro:
1. Cilindro rectangular: si el eje del cilindro es perpendicular a las bases.
2. Cilindro oblicuo: si el eje no es perpendicular a las bases.
Elementos del cilindro:
· Eje: El eje de un cilindro es el lado fijo alrededor del que gira el rectángulo
· Bases: las bases de un cilindro son aquellos círculos que se generan al girar los lados AB y DC, estos círculos son perpendiculares al eje. A su vez, los lados AB y DC son el radio de su círculo y del cilindro.
· Generatriz:es el lado que engendra el cilindro, opuesto al eje.
· Altura:la altura de un cilindro es la distancia entre las bases y es igual que el eje.
El volumen de un cilindro se calcula mediante la fórmula:
Volumen = p * r2 * h, siendo r el radio de la base y h la altura del cilindro.
Ejemplos:
1. Hallar el volumen de un cilindro recto de revolución de radio 3 cm y altura 4 cm.
Solución:
Volumen = p * r2 * h Volumen = 3.1415… * 32 * 4 = 113.09 = 113.1 cm3
Su volumen será 113.1 cm3
2. Calcular el volumen de un cilindro oblicuo de base circular de radio 1 cm y altura 2 cm.
Solución:
Volumen = p * r2 * h Volumen = 3.1415… * 12 * 2 = 6.283 = 6.28 cm3
Su volumen será6.28 cm3
e. Cono
Un cono se forma cuando una recta, generatriz, gira alrededor de otra, eje, con la que se corta en un punto. Es decir, cuando un triángulo rectángulo gira sobre uno de sus catetos (lados menores del triángulo) y determina un cuerpo geométrico, el cono.
Existen diferentes tipos de cono:
1. Cono recto: la altura del cono coincide con el centro de la base circular.
2. Cono oblicuo: la altura no coincide con el centro de la base circular. Las generatrices no tienen el mismo valor.
Elementos del cono:
· Eje: El eje de un cono es el cateto fijo sobre el que gira el triángulo AB.
· Base: La base de un cono es el círculo que se forma cuando gira el cateto BC. BC también es el radio del cono.
· Generatriz: La generatriz es la hipotenusa del triángulo rectángulo AC en sus distintas posiciones.
· Altura: La altura de un cono AB es la distancia entre la base y el vértice (cúspide del cono).
· Tronco de cono: es el cuerpo geométrico que surge cuando cortamos un cono con un plano. Si el cono es recto y el corte es perpendicular al eje, las dos base son paralelas y la nueva base, llamada base menor, es un círculo.
La fórmula general del volumen de un cono es:
Volumen = 1/3 * Ab * h
Que es la misma fórmula que la del volumen de la pirámide.
En el caso del cono de base circular, tanto recto como oblicuo, su volumen será:
En cambio, si el cono es oblicuo de base elíptica, para hallar su volumen, procederemos de la siguiente manera.
Como la base es una elipse, para calcularla usaremos la fórmula del área de la elipse, siendo 
Luego el volumen del cono oblicuo de base elíptica será:
Ejemplos:
1. Hallar el volumen de un cono recto de revolución de 3 de radio y 5 de generatriz.
Solución:
La altura h la obtenemos por el teorema de Pitágoras en un triángulo rectángulo con un cateto de r = 3 y una hipotenusa g = 5.
Su volumen será de 37.7 cm3
2. Un cono oblicuo de base circular de radio 4 cm y de altura 10 cm. Hallar su volumen.
Solución:
Como el volumen de un cono de base circular, sea recto u oblicuo, es:
Volumen = 1/3 * p * r2 * h
Volumen = 1/3 * 3.1415…* 42 * 10 = 167.55 cm3
f. Esfera
Una esfera es un semicírculo que gira sobre su diámetro y que describe en el espacio un cuerpo geométrico llamado esfera.
Si consideramos una semicircunferencia que gira sobre su diámetro, la superficie curva que se genera es la superficie esférica.
Elementos de la esfera:
· Centro:el centro de la esfera es el centro del círculo B.
· Radio:cualquier segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie se denomina radio, por ejemplo BC.
· Diámetro: cualquier cuerda que pasa por el centro AC.
· Eje de giro: lado fijo por el que gira la esfera DE.
· Cuerda: segmento que une dos puntos de la superficie esférica.
· Polos: son los puntos de intersección del eje de giro con la superficie esférica.
El volumende una esfera se calcula en función de su radio (r). Su fórmula es:
Ejemplo:
1. Hallar el volumende una esfera cuyo radio es 6 cm.
Solución:
Aplicamos la fórmula del volumen:
Y obtenemos que el volumen de una esfera de radio r = 6 cm es de 904.78 cm3.
2. Determinar el volumen de una esfera de radio 1 m.
Solución:
Su volumen es de 4.19 m3.
3. Ejercicios
Para que practiques el cálculo de volúmenes de cuerpos sólidos visita el enlace siguiente:
Referencias
Bibliografía:
Enciclopedia Interactiva del Mundo Hispano. (2002). Tomo 6. Océano Grupo Editorial, S.A. España.
e-Grafía:
chemagutierrezmate2o.blogspot.com
file:///C:/Users/usuar/AppData/Local/Temp/conoce_las_mates__solidos___prismas_y_antiprismas.pdf
http://concepto.de/volumen/#ixzz53F2j2DKT
http://www.estudiantes.info/matematicas/geometria/2-eso/cilindros,%20conos%20%20y%20%20esfera.htm
http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/volumen-cilindro/
http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/volumen-cono/
http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/volumen-cubo/
http://www.universoformulas.com/matematicas/geometria/volumen-piramide/
https://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro
https://es.wikipedia.org/wiki/Cubo
https://matematicasparaticharito.wordpress.com/2015/05/09/ejemplos-resueltos-area-y-volumen-de-piramides/
https://matematicasparaticharito.wordpress.com/tag/formulas-para-obtener-el-area-y-el-volumen-de-prismas/
https://www.geoka.net/poliedros/piramide_geometria.html