TEMA 10 TRIÁNGULOS

TEMA No. 10

GEOMETRÍA: TRIÁNGULOS

Competencia a desarrollar: Utiliza diversas  estrategias  matemáticas que le permitan resolver   situaciones  de la vida cotidiana a través de la utilización de triángulos.

Introducción 

El triángulo es el polígono más simple y también el más fundamental, ya que cualquier polígono puede resolverse en triángulos; por ejemplo, trazando todas las diagonales a partir de un vértice, o más general, uniendo todos los vértices con un mismo punto interior al polígono.  Por otra parte, un tipo particular de triángulos, los triángulos rectángulos, se caracterizan por satisfacer una relación métrica (el llamado teorema de Pitágoras), que es la base de nuestro concepto de medida de las dimensiones espaciales.

El triángulo posee además, propiedades que lo distinguen de otras configuraciones poligonales, por ejemplo, el hecho de ser rígido.  Imaginemos un cuadrado construido con piezas de mecano (juguete formado por piezas que se pueden unir con tornillos y tuercas para hacer objetos articulados, mecanismos y construcciones), de modo que las tuercas de los tornillos que unen los extremos de las piezas no estén apretadas; si suspendemos el cuadrado por uno de sus vértices, la figura se deformará y los lados contiguos tenderán a superponerse.  En cambio, si repetimos la experiencia con un triángulo, éste conservará su forma; por eso el triángulo es el elemento principal de la construcción.

1.    Definición de triángulo

 

Un triángulo es un polígono limitado por tres segmentos de línea recta.  Tiene tres lados, tres ángulos y tres vértices, es una porción de plano limitada por tres segmentos.

Los puntos A, B y C; donde se intersectan las línea se denominan vértices del triángulo.

                                        __  __     __

Los segmentos de recta AB, AC y BC se llaman lados del triángulo y por facilidad se denotan por las letras minúsculas correspondientes al ángulo opuesto, por lo tanto, enel triángulo anterior los lados son a, b y c.

 

Además, el triángulo tiene tres ángulos internos que los denotaremos por las letras minúsculas del alfabeto griego: “a” (Alfa), “b” (Beta) y “g” (Gamma), como se ve en la figura anterior.
 

 2.    Clasificación de los triángulos

 

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.
 

a.    Por la medida de sus lados

 

Triángulo Escaleno: es aquel en el que sus tres lados tienen diferentes medidas, es decir que: a ≠ b ≠ c.

 

Triángulo Isósceles: es aquel que tiene dos lados que miden lo mismo (son iguales), es decir que: a = b ≠ c.

 

 

 

 b.    Por la medida de sus ángulos

Triángulo Acutángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos agudos (menores de 90°)

 

       Triángulo Obtusángulo: es aquel que tiene un ángulo obtuso (mayor de 90°)                                             

Triángulo Equiángulo: es aquel que tiene sus tres ángulos internos iguales (de 60°)            
   

Triángulo Rectángulo: es aquel que tiene un ángulo recto (igual a 90°)                                  

3.    Propiedades de los triángulos 

En todo triángulo se verifican cuatro propiedades:

 

Propiedad 1.  La suma de los ángulos interiores es igual a 180°.

Propiedad 2.  Al lado de mayor longitud se opone el ángulo de mayor medida y al lado de menor longitud se opone el ángulo de menor medida.

Propiedad 3.  (Desigualdad triangular).  La medida de uno de los lados de un triángulo es menor que la suma de las medidas de los otros dos lados.

Propiedad 4.  La medida de un ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores que no le son adyacentes.

 

4.    Teorema de Pitágoras

 

El teorema de Pitágoras es aplicable a los triángulos rectángulos, el cual establece que la hipotenusa elevada al cuadrado, es igual a la suma de los catetos (lados) elevados al cuadrado, es decir: 

h² = a² + b²

 

al despejar h se obtiene: 

h = √a² + b²

Ejemplo:

 

Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyo cateto a (lado) mide 3 cm y el cateto b 4 cm.

    

h = √a² + b²                      
h = √3² + 4²    = h = √9 + 16
h = √25
h = 5 cm.

La fórmula para calcular cateto a es:   a² = h² – b², es decir, a = √ h² – b²

 

Y la fórmula para calcular el cateto b es: b² = h² – a², es decir b = √ h² – a²           

        

5.    Resolución de ejercicios

 

Una cancha de fútbol (rectangular como sabemos)  mide 125 metros de largo. Si la longitud de sus diagonales es de 150 metros. ¿Cuál es el ancho del campo de juego?

 

Solución:

 

Primer paso: hacer la figura que ayude a comprender el problema

 

Analizando la figura, vemos que el triángulo queda comprendido por esa diagonal del campo de juego (la hipotenusa), el largo del campo (uno de los catetos) y el ancho (el otro cateto cuya longitud es lo que se nos pide hallar).  El planteo de resolución sería el siguiente:

 

 a²         =  b² + c²
150²     = 125² + c² 
22,500  = 15,625 + c² 
         c² = 22,500 – 15,625 = 6,875
         c  = √6,875

          c = 82.9

 

Respuesta final: el ancho del campo de fútbol es de 82,9 metros

 

Veamos un nuevo ejemplo: Una ciudad se encuentra 17 km al oeste y 8 km al norte de otra. ¿Cuál es la distancia real lineal entre las dos ciudades?

Solución:

 

Lo primero es realizar un pequeño dibujo que nos permita identificar la situación y ver cómo definimos un triángulo rectángulo en la misma.

 

Este podría ser un buen dibujo, donde observamos que se cumplen los datos que nos da el problema y que además la distancia real entre las ciudades, vendría a ser la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo.

El triángulo entonces queda claramente definido y sabemos que tenemos un cateto que mide 17 km, otro que mide 8 km y que la distancia real que se nos está pidiendo es la hipotenusa del tal triángulo. Aplicamos Teorema de Pitágoras y el planteo sería así:

 

a² = b² + c²
a² = 8² + 17² = 64 + 289 = 353
 a = √353 = 18.8

 

Respuesta final: la distancia real entre las dos ciudades es de 18.8 km

 

Otro ejemplo tomando como base un triángulo rectángulo.

 

Una escalera cuya longitud es de 3 metros  se encuentra apoyada contra una pared en el suelo horizontal y alcanza 2,8 m sobre esa pared vertical.  La pregunta es: ¿a qué distancia está al pie de la escalera de la base de la pared?

 

Solución:

 

En este caso, el dibujo que podemos hacer para interpretar la letra del problema sería algo como esto, donde nuevamente se identifica sin problemas el triángulo rectángulo.

 

Queda claro que la escalera cumple el rol de la hipotenusa, la altura de la pared (dato conocido) es uno de los catetos y la distancia del pie de la escalera hasta la base de la pared, es el otro cateto, precisamente la medida que se nos pide calcular y que como es una incógnita para nosotros hemos llamado “x”.

 

El planteo de resolución en este caso podría ser el siguiente:

a² = b² + c²

3² = b² + 2.8² 

9 =  b² + 7.84

b² = 9 – 7.84 = 1.16

b = √1.16 = 1.08

 

Respuesta final: el pie de la escalera está a 1.08 mt. de la pared.

 

Resolver el siguiente problema:

La hipotenusa de un triángulo rectángulo e isósceles mide 128 cm.  Calcular la longitud de los catetos.

 

Solución:

 

Debemos considerar dos aspectos importantes; primero, que un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales, y segundo, que en un triángulo rectángulo la hipotenusa es igual a: h = √a² + b², por lo tanto, como el triángulo es isósceles, significa que los catetos a y b miden lo mismo, entonces:

 

h = √a² + b² → h = √128  → h = √64 + 64 → h² = 8² + 8²

                                        2

 

Por consiguiente, la respuesta es que cada cateto mide 8 cm.

A manera de resumen observa las presentaciones de los siguientes enlaces:

prezi.com/9oaxsdts57gv/los-triangulos-en-nuestra-vida-diaria/

prezi.com/2t97_cog5xdn/problemas-matematicos-de-la-vida-real-basados-en-el-teorema/

Ha llegado el momento de practicar con los ejercicios que se te presentan en el siguiente enlace:

www.vitutor.com/al/trigo/tr_e.html

Referencias

Bibliografía:

 

Enciclopedia Interactiva del Mundo Hispano. (2002).  Tomo 6.  Océano Grupo Editorial, S.A. España.

 

Fernández, M. (1991).  Matemática Segundo Básico.  5ª. Ed. Talleres Gráficos Alianza. Guatemala.

 

Palala, Z. (2016).  Matemática 7. Editorial Santillana S.A.  Amauta Impresiones Comerciales S.A.C. Lima, Perú.

 

Santos, D. Zamora, R. Bautista, M, et.al. (2011). Geometría y Trigonometría.  Colección Manuales.  Grupo Santillana.  Ecuador.

 

e-Grafía: 

https://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo 

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/triangulos.html 

http://www.vadenumeros.es/cuarto/triangulos-rectangulos.htm