TEMA 1 ELEMENTOS DE LOGICA

TEMA No. 1

1.    Lógica

 

La lógica es una ciencia formal, es decir, que como cualquiera de las ciencias formales crea su propio objeto de estudio y el razonamiento, y la creación de ideas por parte de la mente son su metodología de trabajo y conocimiento, pero además, la lógica, es una de las ramas más importantes y populares dentro de la Filosofía, siendo su objeto de estudio los principios de la demostración y la inferencia válida, que son los métodos que en definitiva permitirán distinguir el razonamiento correcto del incorrecto.

 

La lógica tiene algunas clasificaciones, tales como la lógica formal e informal, lógica natural, lógica borrosa también llamada difusa, lógica matemática y lógica binaria.

 

Para los fines de este curso, la que nos interesa es la lógica matemática que se maneja usando un lenguaje artificial y simbólico, y realizando una abstracción de los contenidos.

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https://www.youtube.com/watch?v=j8bcu4_r_v4

2.    Lógica proposicional

 

La lógica proposicional o lógica de orden cero es la rama de la lógica matemática que estudia proposiciones, afirmaciones u oraciones, los métodos de vincularlas mediante conectores lógicos y las relaciones y propiedades que se derivan de esos procedimientos.  Es una herramienta útil para razonar, pero no puede resolver problemas que requieren analizar la estructura interna de las proposiciones o de las relaciones entre ellas.  Este tipo de lógica considera las proposiciones como elementos atómicos y no tiene cuantificadores o variables de entidad.

 

Una lógica proposicional es un sistema lógico encargado de estudiar el razonamiento conforme a proposiciones.

 

Un lenguaje lógico se construye mediante un alfabeto de símbolos y la definición de un conjunto de cadenas de símbolos de dicho alfabeto llamadas fórmulas bien formadas (abreviadamente ).

 

El tipo más simple de lenguaje lógico corresponde a la Lógica Proposicional Clásica.  Esta lógica, con el objetivo de establecer los criterios sobre la exactitud de los razonamientos, formalizará la parte más elemental del lenguaje natural en el modo más simple.

 

Una proposición se define como una aseveración que puede ser verdadera o falsa pero no ambas a la vez.  Como ejemplo tenemos:

 

El WhatsApp constituye un medio de comunicación.

34 – 15 = 21

 

Para su fácil manejo, las proposiciones se pueden representar por letras, las más comunes son p, q, r, s,…  todas minúsculas, por ejemplo:

 

Sea:

 

p = El WhatsApp constituye un medio de comunicación.
q = 34 – 15 = 21 

Cada una puede ser verdadera o falsa.  Pero con base en la definición anterior, existen oraciones que no son proposiciones ya que no se les puede asignar un valor de verdad o de falsedad, tales como las siguientes:

 Pásame el balón.

¡Hoy jugaremos un gran encuentro de futbol!

Teodoro Palacios Flores es mejor atleta que Mateo Flores.

¿Aló, quién habla?

 

No se puede determinar si estas oraciones son verdaderas o falsas.  La primera es una orden, la segunda una exclamación admirativa, la tercera es una opinión y la cuarta es una pregunta.

 

Las proposiciones se pueden negar.  Negar una proposición es cambiar su valor de verdad o de falsedad, es decir, si la proposición es verdadera al negarla será verdadera, y si es verdadera al negarla será falsa.  Veamos unos ejemplos:

 

El departamento de Zacapa tiene doce municipios. (esta proposición es falsa)

 

Al negarla, se convierte en verdadera:

 

El departamento de Zacapa no tiene doce municipios.

 

(ahora es verdadera, porque efectivamente, este departamento no tiene doce municipios)

 

El tiempo reglamentario de un encuentro oficial de futbol es de 90 minutos.

(puede notarse que esta proposición en verdadera)

 

Al negarla, se convierte en falsa:

 

El tiempo reglamentario de un encuentro oficial de futbol no es de 90 minutos.

 

3.    Conectivos lógicos

    Una proposición compuesta puede formarse por la combinación de dos o más proposiciones.   Las proposiciones que forman parte de una proposición compuesta reciben el nombre de componentes de la proposición. 

 

Para crear proposiciones compuestas pueden usarse varios conectivos lógicos, o simplemente conectivos.  Los conectivos son palabras tales como y, o, no, si…entonces, sólo si.

Existen proposiciones que no constan de dos componentes, tal el caso de “Lionel Messi no es jugador de futbol”, pero por conveniencia se considera compuesta, toda vez que su valor de verdad depende del valor de verdad que tenga una proposición diferente: “Lionel Messi es jugador de futbol”.

 

A continuación se te brindan unos ejemplos para determinar si cada una de estas proposiciones es compuesta o no.

 

(1)  Juan Carlos Plata fue seleccionado nacional de futbol y en un encuentro amistoso le anotó un gol a la selección de Brasil.

 

Como puede notarse, este enunciado es compuesto porque está constituido por las proposiciones “Juan Carlos Plata fue seleccionado nacional de futbol” y por “en un encuentro amistoso le anotó un gol a la selección de Brasil”.  El conectivo es “y”.

 

(2)  Esta tarde iré a jugar papy futbol o a nadar a la piscina.

 

En este caso el conectivo es “o”, por lo tanto la proposición es compuesta.

 

(3)  Si ella me invita a la caminata, entonces la acompañaré.

 

Acá el conectivo es “si…entonces”,  por lo tanto también es una proposición compuesta.

 

(4)  Participé en un encuentro de beisbol en Trinidad y Tobago.

 

A pesar que en esta proposición aparece la palabra “y”, no está siendo utilizada como conectivo lógico, ya que es parte del nombre de una república de las Antillas, por lo tanto, no es una proposición compuesta.

 

En la lógica proposicional, para simplificar su uso se utilizan símbolos.  Las proposiciones comúnmente se representan con letras tales como p, q, o r, pero los conectivos se representan con símbolos, los cuales, se describen seguidamente, así como la regla para su correcto uso en el resultado final.

 

Conjunción.  Letra “y”.  Símbolo “˄”

 

Una proposición compuesta utilizando la conjunción “y” será verdadera, únicamente cuando las dos proposiciones simples sean verdaderas.

 

Ejemplos utilizando la conjunción:

 

(1)  El curso de matemática se aprueba sabiendo la teoría y dominando la práctica.

 

(2)  Para tener un cuerpo sano es necesario el ejercicio diario y tener una dieta balanceada.
 

(3)  Guatemala cuenta con 22 departamentos y su moneda de curso legal no es el quetzal.
 

(4)  25 + 4 = 29 y 8 X 7 = 56
 

Disyunción inclusiva.  Letra “o”.  Símbolo “V”

 

Una proposición compuesta utilizando la disyunción inclusiva “o” será verdadera, cuando al menos una de las dos proposiciones simples sea verdadera.

 

Ejemplos utilizando la disyunción inclusiva:

 

(1)  El curso de matemática se aprueba sabiendo la teoría o dominando la práctica.

 

(2)  En un encuentro de futbol deben jugarse como mínimo 70 minutos o el juego no tiene validez.
 

(3)  El número 4 es par o la suma de 4 más 3 es 7.
 

(4)  5 + 2 > 6 o 10 – 4 < 7.  Para este caso, el símbolo “>” se lee “es mayor que” y “<” menor que.
 

Disyunción exclusiva: Letra “o”.  Símbolo: “V”

 

Una proposición compuesta utilizando la disyunción exclusiva será verdadera cuando, una de las dos proposiciones simples sea verdadera pero no ambas a la vez.

 

Ejemplos utilizando la disyunción exclusiva:

 

(1)  El martes a las 3 de la tarde entrenaré natación o atletismo.

 

Es obvio que si a las tres de la tarde entrenará natación, no puede a la misma hora estar entrenándose en atletismo.  Nótese que una proposición excluye a la otra, de ahí su nombre de “exclusiva”.

 

(2)  El campeón de futbol en el torneo de clausura será Municipal o Comunicaciones.

 

También es obvio, porque no puede haber dos campeones en un mismo torneo.

 

(3)  Compraré unos guantes de beisbol y el total lo pagaré en efectivo o con tarjeta de crédito.

 

Por supuesto, no puede hacer un mismo pago total de las dos formas a la vez.

 

(4)  En mi sección de clase, los días martes a la 1:30 pm llevaremos el curso de matemática o el de comunicación educativa.

 

También tiene lógica porque no puede llevar los dos cursos a la misma hora.

 

Condicional: Se lee: “si…entonces”.  Símbolo “→”

 

Algunos autores también la llaman “implicación”.  Una proposición compuesta utilizando la Condicional será falsa únicamente cuando la primera proposición simple sea verdadera y la segunda falsa.

 

Ejemplos utilizando la Condicional:

 

(1)  Si Sebastián entra de titular en el encuentro de futbol, entonces, voy al estadio.

 

No es correcto que Sebastián entre de titular y yo no vaya al estadio, porque no estaría cumpliendo con lo prometido.  De este fundamento toma su regla la condicional.

 

(2)  Si me inscriben en el equipo de natación, entonces, me tomo la foto para el carné.

 

(3)  Si 8 X 5 = 40, entonces, 5 X 8 = 40.
 

(4)  Mario le ofrece a su novia: Si me gradúo de profesor en educación física, entonces, me caso contigo.

 

Bicondicional: Se lee: “Si, y solo si”.  Símbolo “↔”

 

También se le conoce como “doble implicación”.  Una proposición compuesta utilizando la bicondicional será verdadera únicamente cuando las dos proposiciones sean verdaderas o que ambas sean falsas.

 

Ejemplos utilizando la Bicondicional:

 

(1)  Un árbitro nombrado para dirigir un encuentro de papy futbol dice: “Me presentaré a arbitrar el encuentro, si, y solo si me proporcionan medidas de seguridad.

 

(2)  3 X 5 = 15  si y solo si 2 + 6 = 8
 

(3)  Competiré en la carrera de 400 metros con relevo si, solo si en el equipo participa Alberto.
 

(4)  15 – 8 < 7 si y solo si 4 x 6 > 24.  En este caso el signo “<” se lee “menor o igual que” y el signo > se lee “mayor o igual que”.

Construcción de tablas de verdad y operación de conectivos lógicos

 

Para la construcción de una tabla de verdad debe considerarse el factor 2ⁿ, donde 2 es una constante (un valor que no cambia) y “n” la cantidad de proposiciones que participan en las operaciones.  Veamos uno de los ejemplos anteriores:

 

Sea:

 

p = El curso de matemática se aprueba sabiendo la teoría

q = dominando la práctica.

                                          

Operar: p ˄ q     en este caso existen dos proposiciones p y q, entonces decimos:

2ⁿ = 2² = 4.  Este resultado nos indica la cantidad de filas que debe llevar la tabla a construir. 

 

El número de columnas estará dado por la cantidad de proposiciones más la cantidad de operaciones.  Para este caso sería una columna para la proposición p, otra para la proposición q y una más para la operación p ˄ q.  Veamos…

 

p	q	p ˄ q
V Sabiendo la teoría	V Dominando la práctica	V Aprueba Lógico porque cumple con la regla que ambas proposiciones simples deben ser verdaderas
V Sabiendo la teoría	F No dominando la práctica	F No aprueba
F No sabiendo la teoría	V Dominando la práctica	F No aprueba
F No sabiendo la teoría	F No dominando la práctica	F No aprueba

 

Para colocar los valores de verdad (V) y de falsedad (F) se empieza por la primera proposición, que en este caso es p, recordamos el 4 que se obtuvo de  2ⁿ = 2² = 4 y decimos: la mitad de 4 es 2, por lo tanto el la primera anotamos 2 valores de verdad seguidos, luego 2 valores de falso seguidos.

 

Al pasar a la segunda columna, la de la proposición r, razonamos así; en la primera columna el 2 fue el número que sirvió de base para colocar los valores, ahora, mitad de 2 es 1, y colocamos un valor de verdad y uno de falsedad hasta completas todas las filas.

 

En la columna de la operación p ˄ q es cuestión de aplicar la regla del conectivo lógico fila por fila, en este caso la conjunción y recordamos que especifica que: una proposición compuesta utilizando la conjunción será verdadera únicamente cuando las dos proposiciones simples sean verdaderas, lo que implica que cualquier otra combinación de valores dará como resultado una proposición compuesta falsa, tal como se observa en la tabla construida.

 

Consideremos otro ejemplo:

 

Sea la proposición: El martes a las 3 de la tarde entrenaré natación o atletismo.

                                                                  p                                                 q

En este caso y de forma abreviada tenemos:

 

p =  entrenaré natación

q = entrenaré atletismo

 

al operar p V q, la tabla quedaría así:  (Recordar la regla de la disyunción exclusiva; una proposición compuesta utilizando la disyunción exclusiva será verdadera únicamente cuando una de las dos proposiciones simples sea verdadera pero no ambas a la vez.

 

p	q	p V q
V Entrenaré natación	V Entrenaré atletismo	F ilógico porque no puede entrenar a la misma hora los dos deportes
V Entrenaré natación	F No entrenaré atletismo	V Lógico
F No entrenaré natación	V Entrenaré atletismo	F Lógico
F No entrenaré natación	F No entrenaré atletismo	F Ilógico porque dice que entrenará uno de los dos deportes y en este caso no entrenaría ninguno

 

Existen operaciones en las que participan más de dos proposiciones simples, como por ejemplo:

 

(a)  Operar: (p V q) ˄ (q → r)  en este caso hay tres proposiciones

 

2ⁿ = 2³ = 2X2X2 = 8   entonces decimos, mitad de 8 = 4, y en la primera columna escribimos 4 valores verdaderos seguidos y 4 falsos.  En la segunda columna, mitad de 4 = 2, escribimos 2 valores verdaderos y 2 falsos hasta completar las filas, y por último, para la tercera columna decimos, mitad de 2 = 1, y colocamos 1 valor verdadero y 1 falso hasta completas las ocho filas.

 

Luego identificamos la cantidad de operaciones que existen, la clave nos la da la cantidad de conectivos que hay, en este caso hay tres conectivos, por lo tanto debemos agregar tres columnas más, una para cada operación

 

El resultado final de una tabla de verdad lo proporciona la última columna, en este caso, existe una Contingencia, que ocurre cuando el resultado final de una tabla está conformado por valores de verdad y falsedad

 

(b)  Operar: (p ˄ q) → (p V ~ r)

 

Se puede observar que en restado final de la tabla todos los valores son verdaderos, a esto se le llama Tautología

 

(c)  Operar: p U ~p

En esta tabla se puede observar que en el resultado final únicamente existen valores de falsedad, a esto se le llama Contradicción.

En el siguiente enlace tendrás ejercicios y vídeos que te servirán para ampliar tus conocimientos sobre el tema de estudio: profe-alexz.blogspot.com/2010/05/logica-proposicional.html 

Para tu entretenimiento y estudio he aquí otros enlaces:
www.youtube.com/watch

prezi.com/bztfno4mqey9/aplicando-la-logica-proposicional-a-la-vida-diaria-evitaremos-accidentes/