LA MATEMATICA DA INTELEGENCIA Y LA INTELIGENCIA DA BELLEZA
TEMA 4 NÚMEROS ENTEROS
TEMA No. 4
NÚMEROS ENTEROS
Competencia a desarrollar: Aplica estrategias matemáticas que le permitan comparar, representar y resolver situaciones de la vida cotidiana a través de la representación de los conjuntos, estableciendo la relación con otros cursos de aprendizaje.
1. Números Enteros.
A medida que el hombre fue avanzando en sus investigaciones se le presentaron dificultades por ejemplo, resolver operaciones del tipo: 5 – 9 =, y como en el campo de los números naturales no existe ningún número que sumado a 9 de por resultado 5, surgen los números enteros negativos. Éstos son números precedidos por el signo menos (–).
De esta manera tiene solución dicha diferencia: 5 – 9 = – 4
La unión de los números naturales y los enteros negativos forman el conjunto de los números enteros que se designa con la letra o símbolo Z.
Por consiguiente, el conjunto de los números enteros es aquel que está formado por los números naturales y los números negativos. Estos últimos representan situaciones de la vida diaria tales como temperaturas bajo cero, profundidades bajo el nivel del mar, diferencia de goles en un campeonato de futbol, entre otras.
El conjunto de los números naturales, tal como se indicó anteriormente, se simboliza con Z y se determina de la siguiente manera:
Z= {…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …} Z= Z- U {0} U Z+
Su ubicación en la recta numérica está dada como se muestra a continuación:
l_____l_____l_____l_____l_____l_____l_____l_____l_____l____
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero a, se representa |a| y se define como la distancia que hay desde cero (0) hasta dicho número.
Por ejemplo, |–3| = 3 pues entre0 y –3 hay tres unidades de distancia.
2. Signos de agrupación
Los signos de agrupación son:
· Paréntesis ordinario ( )
· Paréntesis angular (rectangular) o corchete [ ]
· Llaves { }
· Barra o vínculo –
3. Jerarquía de las operaciones
Los signos anteriores indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero.
Así, (a + b)c indica que el resultado de la suma de a y b debe multiplicarse por c.
[a – b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m.
{a + b} ÷ {c – d} indica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d.
Eliminación de corchetes
Cuando aparecen paréntesis dentro de los corchetes, las operaciones indicadas en los paréntesis interiores se hacen primero.
Ejemplos:
[7 + (9 – 4)] – 10
[7 + 5] – 10
[7 + 5] – 10
12 – 10 = 2
[(10 – 3) – (4 + 1)] ÷ 2
[7 – 5] ÷ 2
2 ÷ 2 = 1
Eliminación de llaves
Para simplificar expresiones que tienen llaves, primero efectuamos las operaciones que están dentro del paréntesis, después las indicadas dentro del corchete y por último las que están dentro de las llaves.
Ejemplos:
4 (2 + 3) – {6 – [3 – (7 + 3)]}
4 (5) – {6 – [3 – 10]}
20 – {6 – [– 7]}
20 – 13 = 7
Observa que trabajamos desde dentro hacia fuera:
70 – {21 [18 + 25 – (50 – 9)] ÷ 7}
70 – {21 [43 – 41] ÷ 7}
70 – {21 [2] ÷ 7}
70 – {42 ÷ 7}
70 – 6 = 64
20 + {-50 + [ (30) (2) + 40] – [ (-12 + 30 – 20 + 6)]} ÷ {22}
20 + {-50 + [60 + 40] – [ (4)]} ÷ {22}
20 + {-50 + 100 – 4} ÷ {22}
20 + {46} ÷ {22}
66 ÷ 22 = 3
Necesitamos reglas que indiquen el orden en que se deben hacer las operaciones:
Jerarquía de las operaciones
- Efectuar los cálculos dentro de los signos de agrupación.
- Multiplicar y dividir en orden de izquierda a derecha.
3. Suma y resta en orden de la izquierda a derecha.
4. Propiedades de las operaciones con números enteros
Las propiedades de la adición se pueden dividir de la siguiente forma.
La propiedad asociativa, que puede asociar los sumandos a conveniencia:
(a + b) + c = a + (b + c) (a + b) + c = a + (b + c)
La propiedad conmutativa, que dice que los sumandos pueden variar su orden, sin alterar el resultado. Aunque esto también se puede aplicar para las sustracciones, siempre que se tome a la suma como tal:
a + b = b + a
a – b = a + (−b) = (−b)+a
a – b = a + (−b) = (−b)+a
El elemento neutro de la suma seria el 0 pues no cambia el resultado:
a + 0 = a y 0 + a = a
Mientras que el elemento opuesto, es aquel que sumado con su valor entero, tiene como resultado el elemento neutro, 0:
a + (−a) = 0
Las propiedades de la resta de enteros:
La resta de enteros al igual que la resta de los números naturales, no cumple las propiedades conmutativa ni asociativa. Pero si posee otras nuevas:
Es operación interna (cerradura), tiene elemento neutro y elemento opuesto o simétrico.
Operación interna o de cerradura:
La resta de dos números enteros siempre produce como resultado otro número entero. En el conjunto de los números naturales esta regla no existía. Si el minuendo era menor que el sustrayendo se producía un número negativo que no pertenece al conjunto de los números naturales N.
La resta de enteros al igual que la resta de los números naturales, no cumple las propiedades conmutativa ni asociativa. Pero si posee otras nuevas:
Es operación interna (cerradura), tiene elemento neutro y elemento opuesto o simétrico.
Operación interna o de cerradura:
La resta de dos números enteros siempre produce como resultado otro número entero. En el conjunto de los números naturales esta regla no existía. Si el minuendo era menor que el sustrayendo se producía un número negativo que no pertenece al conjunto de los números naturales N.
Elemento neutro: a − 0 = a
El elemento neutro de la resta de enteros es también el 0, como en la suma.
Ejemplos:
2 − 0 = 2; −3 − 0 = −3; 0 − 0 = 0
Elemento simétrico: a − a = 0
El elemento opuesto o simétrico de un número en la resta de enteros es el mismo. Es así porque al restarle a un número el mismo número obtenemos el elemento neutro, el 0.
Ejemplos:
Ejemplos:
2 − 2 = 0; −3 − (−3) = −3 + 3 = 0
Las propiedades de la multiplicación de números enteros
Tienen que ser operados a través de sus factores, y dependiendo de la cantidad de números con signo negativo, el resultado podría cambiar también de signo con la siguiente lógica:
+⋅+ = + + ⋅+ ⋅ + = +
+ ⋅ – = – + ⋅ – ⋅+ = −
− ⋅ + = – − ⋅ + ⋅ + = −
− ⋅ – = + + − ⋅ – = +
Las propiedades de multiplicación de números enteros son:
La asociativa que habla de que los factores se pueden asociar cuando se multiplican entre sí:
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅c)
(2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24 y 2 ⋅ (3 ⋅ 4) = 24
La propiedad conmutativa que dice que el orden de los factores no altera el producto:
a ⋅b = b ⋅ a
2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
(2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24 y 2 ⋅ (3 ⋅ 4) = 24
El elemento neutro que es la unidad 1, la cual no altera el resultado al multiplicarse:
a ⋅1 = a y 1⋅ a = a
4 x 1 = 4 y 4 x 1 = 4
La propiedad distributiva con respecto a la suma que dicta que los factores se distribuyan en la suma cuando en una ecuación existan ambas operaciones:
a ⋅ (b+c) = (a⋅ b) + (a ⋅ c)
(2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 24, 2 ⋅ (3 ⋅ 4) = 24 y (2 ⋅ 4) ⋅ 3 = 24
Las propiedades de las divisiones de números enteros
La división de números enteros no es una operación interna. Una división puede tener decimales, y los números con decimales no pertenecen al conjunto de los números enteros. Asimismo tampoco cumple la propiedad conmutativa ni asociativa, (no podemos cambiar dividendo por divisor ni agrupar a nuestro gusto).
La división de números enteros posee elemento neutro, el 1.
a ÷ 1 = a
5 ÷ 1 = 5
5. Operaciones con números enteros
a) (+20) + (–10) = 20 –10 = +10
20 –10 =10, el de número mayor absoluto es +20, se pone +10
b) (– 
+ (+3) = – 8 + 3 = – 5
+ (+3) = – 8 + 3 = – 5 8 – 3 = 5, el de mayor valor absoluto es el – 8, se pone –5
c) (+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9
11 – 2 = 9, el de mayor valor absoluto es el +11, se pone +9
d) Sumar 5 y – 6
Se escribe +5 –6, el de mayor valor absoluto es – 6, se pone –1
e) Restar 5 y – 6
Se escribe (+5) – (–6); al multiplicar el signo menos (–) de la operación resta por el signo menos de (–6), debemos recordar la ley de signos que dice: “– por – da positivo (+), esto significa: 5 + 6 = 11
(+5) – (–6) = 5 + 6 = 11
f) Restar (– 19) y (+4) el minuendo es – 19 y el sustraendo +4,
Se escribe (– 19) – (+4); este caso es igual que el ejemplo anterior donde debe aplicarse la ley de signos para suprimir signos de agrupación y tenemos que el signo menos (–) de la operación resta por el signo más de (+4) según la ley de signos “– por + da menos (–), esto significa: –19 –4 = –23
(– 19) – (+4) = –19 –4 = –23
g) (+8) · (+3) = + 24
h) (–3) · (–2) = + 6
i) (+4) · (–1) = – 4
j) (–2) · (+4) = – 8
k) (–15) ÷ (–15) = +1
l) (8 ÷ 4 = +2
m) (– 4 ÷ (–2) = +2
n) 10 ÷ 2 = + 5
ñ) (10 ÷ (–2) = – 5
o) (–8) ÷ 4 = – 2
p) 24 ÷ (–4) = – 6
r) – 6 ÷ 3 = – 2
Luego de haber realizado el estudio de los números enteros, se te invita a visitar el siguiente enlace:
www.youtube.com/watch
Ahora para afianzar más tus conocimientos, resuelve los problemas que aparecen en el siguiente enlace:
www.ejerciciosweb.com/enteros/problemas-resueltos.html
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REFERENCIAS
Bibliografía:
Casiá, F, Palencia, I, Guinter, R & Palala, Z. (2011). Matemática 8. Editorial Santillana. Guatemala
Enciclopedia Audiovisión Educativa. Matemática. Vol. 1. Océano Multimedia. España.
Ranferi, C. (2017). Apuntes de Matemáticas 1. Universidad de San Carlos de Guatemala. Guatemala.
e-Grafía: