LA MATEMATICA DA INTELEGENCIA Y LA INTELIGENCIA DA BELLEZA

TEMA 7 PROPORCIONES

TEMA No. 7

PROPORCIONES

Competencia a desarrollar: Reconocimiento de una proporción a través de la comparación de dos cantidades, utilizando modelos matemáticos y razonamiento lógico aplicados a lo cotidiano en relación a su formación profesional con otras materias.

 
1.    Proporciones
 
Tanto en la vida diaria como en las operaciones comerciales es necesario comparar cosas, ya que algunos enunciados que involucran números, tienen un significado muy restringido si no se comparan con otros o con otras cantidades  En el tema podrás  apreciar lo que son las Proporciones y su relación con las Razones, aparte de ejercicios de explicación y aplicación.
 
Empezaremos conociendo lo que es una proporción:
 
Una proporción es la igualdad entre dos razones, que en forma general se escribe:
 
Para una proporción aritmética, que es una igualdad entre dos razones aritméticas:
 
 
a – b = c – d  o a – b :: c – d, que se lee: “a” es a “b” como “c” es a “d”
 
 
Para una proporción geométrica, que es una igualdad entre dos razones geométricas:
 
 
a/b = c/d o a:b :: c:d, que se lee: “a” es a “b” como “c” es a “d”
                           
 Ejemplos:
 
Proporción aritmética:             14 – 10 = 9 – 5 ó 14 – 10 :: 9 – 5
 
Proporción geométrica:          21 = 35  ó  21 : 3 :: 35 : 5
                                                 3       5 
Tipos de proporción aritmética
 a) Discreta. (cuando los términos medios diferentes) 
                
a – b = c – d
   
    Dónde
   
    “d” es la cuarta diferencial de a, b y c
 
Ejemplo
Halle la cuarta diferencial de 8; 3 y 10
 
Luego:
 
8 – 3 = 10 – x
 
x = 5
 
b) Continua. (cuando los términos medios iguales)
 
                 a – b = b – c
Donde
 
“c” es la tercera diferencial de a y b.
“b” es la media diferencial de a y c.
 
Ejemplo
 
Hallar la media diferencial  de 70 y 36.
 
Sea x la media diferencial, luego:
 
70 – x = x – 36
 
x = (70 + 36)/2
 
x = 53 
 
Tipos de proporción geométrica
 a)    Discreta. (cuando los términos medios diferentes) 
 
a = c
 
b    d
 
Donde:
 
“d” es la cuarta proporcional de a, b y c
 
Ejemplo
 
Hallar la cuarta proporcional de 5,10 y 15
 
Sea x la cuarta proporcional, luego: 
 
 5_ = 15
 10      x

Por lo tanto:

x = (10)(15)          
           5 

x = 30
b) Continua. (cuando los términos medios iguales

           a = b
b    c
 
Donde:
 
c es la tercera proporcional de a y b

b es la media proporcional de a y c
Ejemplo
 
Hallar la media proporcional de 16 y 25
 
Siendo x la media proporcional tendremos:

16 =   x_
x       25

x2 = (16) (25) → x = √(16) (25) → x = √400  

Por lo tanto: x = 20
2. Teorema fundamental de las proporciones
     En cualquier proporción, el producto de los extremos es igual al producto de los medios. Es decir:
     a/b = c/d ⇒ ad = bc
Por lo tanto, conocido el teorema fundamental de las proporciones, cualquier término de una proporción se puede despejar sin más que aplicar la teoría general de las ecuaciones.
3.    Propiedades de las proporciones
 
Propiedades de las proporciones aritméticas  
 
Propiedad 1: En toda proporción, a suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente.  

a =  c   →   a + b  = c + d 
b      d            b           d

a =  c  →  a - b  =  c – d 
b      d          b           d

Propiedad 2: En toda proporción, la suma o diferencia el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente, como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente.  

a =  c  →  a + b = c + d 
b     d          a          c  

a =  c  →  a - b =  c – d 
b     d          a          c  

Propiedad 3: En toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos, como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos.  

a =  c  →  a + b  =  c + d 
b     d        a - b      c – d

Serie de razones iguales: una serie de razones iguales es una igualdad entre dos o más razones.

a =  c  =  e  =  m 
b     d      f       n  

Propiedad 4: En toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la suma de los consecuentes, como uno de los antecedentes es a su consecuente.
 
a =  c  = e  = m   =   a + c + e+ m  
b     d      f      n        b + d + f + n  
 
Propiedad general de las proporciones geométricas
 
Al efectuar las operaciones de adición y/o sustracción con los términos de una razón, en la proporción, estas mismas operaciones se verifican con los términos de la otra razón. 
 
a)    Propiedad 1  
 
a + b = c + d o     a__ =    d__ 
   b         d         a + b      c + d 
 
b)    Propiedad 2 
 
a – b = c – d   o     a__ =    d__ 
   b         d          a – b      c – d 
 
c)    Propiedad 3
 
a + b = c + d  
a – b    c – d
4.      Ejemplos
 
Ejemplo 1

Tenemos que hallar x en la siguiente proporción:

2/5 = x/10 ⇒ 2·10 = 5·x ⇒ 20 = 5x ⇒ x = 20/5 = 4 

Ejemplo 2
 
En una proporción la suma de sus antecedentes es 16; un antecedente es 4, y su consecuente es 5. Calcular los otros términos de la proporción.
 
Podemos imaginar la proporción a/b = c/d y consideremos la condición del problema:
 
a + c = 16
a = 4
b = 5
Por lo tanto:
c = 16 – a = 16 – 4 = 12
 
Luego la proporción se define como: 4/5 = 12/d
 
Así que aplicando el teorema fundamental:
 
4d = 5·12 ⇒ 4d = 60 ; d = 60/4 = 15
 Luego la proporción es:  
4/5 = 12/15
 
Ejemplo 3  

Hallar los valores desconocidos de la siguiente serie de razones iguales.  

a) 4 =  5 =  1        ↔    4 =  1  →  (4) (3) = (b) (1) → b = 12 
    b      d     3               b      3  

b) 5 =  1    → (5) (3) = (1) (d) → d = 15 
    d     3  
 
c) 4 =  5 =  1     ↔        4   =  5   =  1 
     b     d    3                12     15      3

Ejemplo 4.  Aplicar las propiedades de las proporciones. 

a)  a+ b = 9   ;   a / b = 1 / 2 

     a =  c   →   a + b  = c + d 
     b     d            b            d 

   9 = 1 + 2   →  9 =  3   →  (9) (2) = (3) (b) →  b =  (9) (2) = 6  
   b       2            b     2                                                  3  

   a + b = 9

  a + 6 = 9 ↔ a = 9 - 6 → a = 3  

b) a - b = 2 ;  a / b = 4 /3 

    a =  c  →  a - b =  c – d
    b     d          a            c 

    2  = 4 - 3  →   2 =  1  → (2) (4) = (a) (1) → a = (2) (4) = 8 
    a       4            a    4                                               1
 
    a - b = 2

    8 - b = 2 ↔ b = 8 - 2 = 6  
 
    a - b = 2                      8 – 6 = 2
 
INSTRUCCIONES:
 
El siguiente link te mostrará un documento y vídeos sobre Razón y Proporción matemática: ¿cómo y cuándo utilizar cada concepto?

noticias.universia.net.co/actualidad/noticia/2014/09/03/1110861/razon-proporcion-matematica-como-cuando-emplear-cada-concepto.html

Llegó la hora de practicar proporciones, ingresa al siguiente link:
 

Bibliografía:
 
Baldor, Aurelio. (1997). Aritmética. Publicaciones Cultural, S.A. de C.V. México D.F. 576p. ISBN 968-439-211-7
 
Casiá, F, Palencia, I, Guinter, R & Palala, Z. (2011). Matemática 8. Editorial Santillana. Guatemala
 
Enciclopedia Audiovisión Educativa. Matemática. Vol. 1. Océano Multimedia. España. 
 
e-Grafía:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 
 
 
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