TEMA 2 TEORÍA DE CONJUNTOS
TEMA No. 2
TEORÍA DE CONJUNTOS
Competencia a desarrollar: Aplica estrategias matemáticas que le permitan comparar, representar y resolver situaciones de la vida cotidiana a través de la representación de los conjuntos, estableciendo la relación con otros cursos de aprendizaje.
1. Los conjuntos
El mundo en que vive el ser humano está rodeado de conjuntos: conjunto de utensilios de cocina, conjunto de muebles de una habitación, conjunto de libros de una biblioteca, conjunto de árboles, conjunto de útiles deportivos, etc.
En todos ellos se usa la palabra conjunto con un significado de colección de varios objetos.
Por lo tanto, un conjunto es una colección de objetos bien definidos por medio de alguna o algunas propiedades en común. Por objeto entendemos no sólo cosas físicas, como balones, computadoras, personas, etc., sino también abstractos, como son números, letras, etc.
Un conjunto se puede escribir en cualquiera de las formas siguientes:
a) Forma tabular, enumerativa o extensiva
Escribimos dentro de llaves un listado de elementos que lo forman, separándolos por medio de comas.
Por ejemplo:
A = {a, e, i, o, u}
b) Forma descriptiva o comprensiva
Escribimos una variable para representar a los elementos del conjunto, luego, la proposición abierta que describe la propiedad común que los identifica.
Por ejemplo:
A = {x/x es una vocal} Se lee: x tal que x, es una vocal.
c) Forma gráfica
Se le conoce como Diagramas de Venn, y consiste en dibujar una figura cerrada como un círculo, un cuadrado, un triángulo u otra, y colocamos adentro de ella los elementos del conjunto.
Por ejemplo:
A
2. Clases de conjuntos
Nuestro universo es todo lo que nos rodea, está formado por nebulosas, galaxias, estrellas, planetas, satélites, cometas y asteroides. Nosotros vivimos en una galaxia de forma espiral llamada Vía Láctea, en ella se encuentra el Sistema Solar y el planeta Tierra es parte de este sistema.
Si llamamos U al universo y S = {x/x es planeta del Sistema Solar}, podemos formar un conjunto con los elementos que pertenecen a U pero que no pertenecen a S.
Así tenemos:
Conjunto universo (U)
Es el conjunto que contiene a todos los elementos del universo, también se le conoce como Conjunto Referencial. Se le denota con la letra U. Se representa mediante una superficie rectangular y los conjuntos que lo forman, mediante círculos u otro tipo de gráficas cerradas.
Si U = {2, 6, 10, 14, 18, 22} y A = {2, 6, 10}, el diagrama sería:
Conjunto Complemento
Si A es un conjunto dado y U un conjunto universo, el complemento de A, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a U y que no pertenecen a A. El complemento de A se denota como Ac y se representa en forma simbólica de la siguiente manera:
Ac = {x/x ϵ U y ∉ A} que se lee: A complemento es igual a x tal que x pertenece a U y no pertenece a A.
Conjunto Finito
Se dice que un conjunto es finito, cuando el número de sus elementos puede determinarse o contarse, aún cuando éstos sean muchos.
Ejemplos:
a) El conjunto de los días de la semana.
b) El conjunto de los departamentos de la República de Guatemala.
c) El conjunto de habitantes del departamento de Zacapa.
d) El conjunto de estudiantes inscritos en el Profesorado en Educación Física.
e) El conjunto de los jugadores participantes en un encuentro de futbol.
Conjunto Infinito
El conjunto infinito es aquel en el cual no se puede determinar la totalidad de sus elementos.
Ejemplos:
a) El conjunto de los números enteros.
b) El conjunto de las estrellas del firmamento
c) El conjunto de los cuadrados de los números naturales.
d) El conjunto de los números racionales.
e) El conjunto de los números reales.
Conjunto Vacío
Se le llama conjunto vacío al que carece de elementos. Se designa con Ø o { }
Ejemplos:
a) Conjunto de alumnos de primer año de universidad con cinco años de edad.
b) Conjunto de mujeres que han sido Presidentes en la República de Guatemala.
c) Conjunto de campeonatos mundiales de futbol a los que ha asistido la selección nacional de Guatemala.
Conjunto Unitario
Un conjunto unitario es aquel que únicamente cuenta con un elemento.
Ejemplos:
a) Conjunto de satélites naturales del planeta Tierra.
b) Conjunto de números pares que existen en los primeros tres números naturales.
c) Conjunto de números mayores de 10 y menores de 12.
Conjuntos iguales
Se dice que un conjunto A es igual al conjunto B, cuando tienen los mismos elementos, es decir, todo elemento de A pertenece al conjunto B y todo elemento del conjunto B pertenece al conjunto A.
Ejemplos:
a) A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {1, 3,5, 2, 4} en este caso, A = B
b) C = {a, b, c, d, e, f} y D = {b, d, f, a, c, e} en este caso, C = D
Subconjunto
Un conjunto N es subconjunto del conjunto M cuando cada elemento del conjunto N pertenece al conjunto M, pero cada uno de los elementos del conjunto M no pertenecen al conjunto N.
Ejemplos:
a) A = {1, 3, 5} y B = {1, 2, 3, 4, 5}, en este caso A c B, se lee: A contenido en B.
b) C = {portero} y D = {portero, defensa, volante y delantero}, acá C c D
3. Operaciones con conjuntos
Las operaciones que se pueden dar entre conjuntos son las siguientes:
Unión. Símbolo “U”
La unión de los conjuntos A y B, que se escribe A U B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a ambos conjuntos, o
A U B = {x/x ϵ A o x ϵ B}
Intersección. Símbolo “∩”
La intersección de los conjuntos A y B, que se escribe A ∩ B, es el conjunto de elementos que son comunes a ambos conjuntos A y B, esto es:
A ∩ B = {x/x ϵ A o x ϵ B}
Diferencia. Símbolo “ – ”
La diferencia de dos conjuntos está dada por los elementos del primer conjunto que no pertenecen al segundo conjunto. Así, la diferencia de A y B, que se escribe A – B, está dada por los elementos del conjunto A que no pertenecen al conjunto B. Debe tomarse en cuenta que si cambia el orden de los conjuntos, el resultado no es el mismo, así:
A – B ⱡ B – A que se lee: A menos B no es igual a B menos A
Diferencia Simétrica. Símbolo “ D ”
La diferencia simétrica, cuyo símbolo es la letra griega delta, está dada por los elementos del primer conjunto que no pertenecen al segundo conjunto y los elementos del segundo conjunto que no pertenecen al primer conjunto, la cual se escribe A D B. La diferencia simétrica cumple con la propiedad conmutativa, es decir:
A D B = B D A
Antes de iniciar operaciones con conjuntos, es necesario conocer ciertas propiedades de las operaciones entre conjuntos, éstas se muestran en el siguiente cuadro:
|
Propiedad |
Unión |
Intersección |
|
Conmutativa |
A U B = B U A |
A ∩ B = B ∩ A |
|
Asociativa |
(A U B) U C = A U (B U C) |
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) |
|
Distributiva |
A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) |
A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) |
|
Idempotencia |
A U A = A |
A ∩ A = A |
|
Absorción |
A U (B ∩ A) = A |
A ∩ (B U A) = A |
|
Neutralidad |
A U Ø = A A U U = U |
A ∩ U = A A ∩ Ø = Ø |
|
Leyes de Morgan |
(A U B)c = Ac ∩ Bc |
(A ∩ B)c = Ac U Bc |
A continuación se muestran ejemplos de operaciones entre conjuntos:
Sea:
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7} y C = {1, 3, 5, 7, 9}
Operar:
a) A U B
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7} A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b) A U C
A = {1, 2, 3, 4, 5} C = {1, 3, 5, 7, 9} A U C = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
c) B U C
B = {4, 5, 6, 7} C = {1, 3, 5, 7, 9} B U C = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
d) A ∩ B
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7} A ∩ B = {4, 5}
e) A ∩ C
A = {1, 2, 3, 4, 5} C = {1, 3, 5, 7, 9} A ∩ C = {1, 3, 5}
f) B ∩ C
B = {4, 5, 6, 7} C = {1, 3, 5, 7, 9} B ∩ C = {5, 7}
g) A – B
A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {4, 5, 6, 7} A – B = {1, 2, 3}
h) B – A
B = {4, 5, 6, 7} A = {1, 2, 3, 4, 5} B – A = {6, 7} nótese que A – B ⱡ B – A
i) A D C
A = {1, 2, 3, 4, 5} C = {1, 3, 5, 7, 9} A D C = {2, 7, 9}
j) C D A
C = {1, 3, 5, 7, 9} A = {1, 2, 3, 4, 5} A D C = {7, 9, 2} nótese que A D B = B D A
Analiza el vídeo que aparece en el siguiente enlace: www.youtube.com/watch
Llegó la hora de practicar, imprime la hoja y en tus ratos que dedicas al estudio resuelve los ejercicios que aparecen en el enlace: recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/conjuntos_y_operaciones_agsm/ejercicios.pdf
REFERENCIAS
Bibliografía:
Enciclopedia Audiovisión Educativa. Matemática. Vol. 1. Océano Multimedia. España.
Miller, Ch., Heeren,V & Hornsby, J. ((2008). Estrategias de Razonamiento. 1ª. Ed. Pearson Educación. México.
Ranferi, C. (2017). Apuntes de Matemáticas 1. Universidad de San Carlos de Guatemala. Guatemala.
Sánchez, J y Ovalle, C (2012). Estrategias de Razonamiento. Libro de trabajo. 5ª. Ed. Universidad Rafael Landívar. Guatemala.
e-Grafía:
http://charlesmatematic.blogspot.com/2013/02/pertenencia-y-no-pertenencia.html
https://educacion.elpensante.com/ejemplos-de-conjunto-unitario/