TEMA 3 NÚMEROS NATURALES

TEMA No. 3

NÚMEROS NATURALES

Competencia a desarrollar: Comprende el proceso de operaciones matemáticas con números naturales, aplicando estrategias adecuadas en la solución de problemas.

 1.    Números naturales

Los números naturales son la expresión cultural del hombre en cuanto a la necesidad de contar, es decir, de conocer la respuesta a la pregunta ¿cuántos?

Los números naturales son aquellos que sirven para contar los elementos de un conjunto determinado de personas, animales, objetos o cosas. 

Algunos matemáticos incluyen el cero (0) como número natural y otros en cambio parten del número uno (1).  En nuestro curso si incluiremos el cero (0). 

El conjunto de los números naturales se simboliza con la letra N y se determina de la siguiente manera:

N = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…} 

Cada número natural tiene uno siguiente que se obtiene sumándole una unidad al número anterior.  El único que no tiene anterior es el cero (0).Los elementos del conjunto N se pueden ubicar en una semirrecto numérica, tal como se muestra a continuación. 

l_____l_____l_____l_____l_____l_____l_____l_____l_____l_____

                                            0         1         2         3         4         5         6         7         8         9 

El conjunto de números naturales es ordenado, es decir, dados dos naturales cualesquiera uno de ellos es menor que otro. Los símbolos que se utilizar para establecer la relación de orden entre dos números son: 

a < b que se lee: a es menor que b

a < b que se lee: a es menor o igual que b

a > b que se lee: a es mayor que b

a > b que se lee: a es mayor o igual que b 

Es posible comparar dos números naturales utilizando los símbolos menor que (<), mayor que (>) o igual.  Por ejemplo: 8<15 (ocho menor que quince), 28>14 (veintiocho mayor que catorce), 6 = 6 (seis igual que seis). 

Números Naturales concretos 

Se llama número natural concreto a la expresión formada por un número natural y la denominación de la especie de que se trata. 

Ejemplos: 

(a)  6 kg.   donde 6 es el coeficiente = número natural  y kg. es la unidad simbólica o denominación de la especie. 

(b)  18 pulg.  donde 18 es el coeficiente = número natural  y pulg. es la unidad simbólica o denominación de la especie. 

En los números naturales se definen las operaciones ya conocidas de suma, resta, multiplicación y división, que sin embargo, se muestran en el siguiente cuadro, pero agregándole ejemplos y clasificación. 

  2.    Propiedades de la suma, resta, multiplicación y división de números naturales.

 a)    Propiedades de la suma

a, b ϵ N → a + b ϵ N
 

a + b = b + a

0 + a = a

b)    Propiedades de la resta

La resta no tiene las propiedades de la suma.  La resta no es una operación interna (propiedad de cerradura) en el conjunto de los números naturales, porque para que dos números naturales se puedan restar es necesario que el número minuendo (número al que se le va a restar) sea mayor que el substraendo (el número que restará).  Si eso no ocurre, esa resta no es posible en el conjunto de los números naturales porque el resultado no sería un número natural.

La resta no tiene la propiedad conmutativa, es decir, no podemos intercambiar la posición del minuendo con la del substraendo.

La resta tampoco tiene la propiedad asociativa.

Propiedad fundamental de la resta:

Si sumamos o restamos el mismo número al minuendo y al substraendo, obtenemos una resta equivalente. 

(a – b) = (a + c) – (b + c) =   (a – c) – (b – c)

Ejemplo:

8 – 5 = 3    (8 + 3) – (5 + 3) = 11 – 8 = 3      (8 – 3) – (5 – 3) = 5 – 2 = 3

c)    Propiedades de la multiplicación

Propiedad de cerradura: El producto de dos números naturales es otro número natural.

a . b ϵ N → a . b ϵ N  

Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

a.    b = b . a

Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores. 

(a + b) + c = a + (b + c)

Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

a . (b + c) = (a . b) + ( a . c)  y  a . (b – c) = (a . b) – (a . c) 

Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

1 . a = a 

   d)   Propiedades de la división:

Cerradura o clausurativa: En la división de números naturales, la propiedad clausurativa solo se cumple cuando el dividendo es múltiplo del divisor.

Distributiva: Si tenemos una suma o una resta dividida por un número natural, podemos efectúa la adición indicada y dividir por el número natural.  También se puede dividir cada sumando por separado por el número natural, obteniendo el mismo resultado.

Simbólicamente:  Si  a  ϵ  N,  b  ϵ  N, c  ϵ  N,  entonces,

(a + b) ÷ c = (a ÷ c) + (b ÷ c)

(a - b) ÷ c = (a ÷ c) - (b ÷ c)

Ejemplos:

(14 + 10) ÷ 2 = 12         (14 ÷ 2) + (10 ÷ 2) = 7 + 5 = 12

(14 – 10) ÷ 2 =   2           (14 ÷ 2) – (10 ÷ 2) = 7 – 5 =   2

Elemento neutro: El elemento neutro para la división es el 1. 

a ÷ 1 = a

3.    Operaciones con números naturales.

Suma de dos o varios números naturales

Se suman las cantidades, si hay más de dos podemos ir sumándolas de dos en dos.

Ejemplos:

4 + 9 = 13

232 + 535 = 767

2 + 25 + 8 = 27 + 8 = 35

142 + 265 + 146 = 407 + 146 = 553

Resta:

245 - 129 = 116

3456 - 2391 = 1065

Multiplicación o producto de dos números naturales

5 ·7 = 35                 32 · 8 = 256

4 · 97 = 388            621 · 23 = 14,283

Multiplicación o producto de varios naturales

(5 · 7)· 2 = 35 · 2 = 70              5 · (7 · 2) = 5 · 14 = 70

(4 · 9) · 3 = 36 · 3 = 108           4 · (9 · 3) = 4 · 27 = 108

12 · 7 = 84               7 · 12 = 84

24 · 19 = 216           19 · 24 = 216

Cociente o división de dos naturales

25 ÷ 5 = 5                 330 ÷ 11 = 30

42 ÷ 6 = 7                 639 ÷ 9 = 71

Operaciones combinadas  

Las operaciones combinadas son operaciones mixtas sobre naturales, es decir, se hacen distintas operaciones, sumas, restas, productos o cocientes. Para ello es necesario establecer una prioridad a la hora de operar.

En las operaciones combinadas pueden aparecer corchetes [ ], paréntesis ( ), productos, cocientes, sumas o restas. Las prioridades operando son:

1. Corchetes
2. Paréntesis
3. Productos y cocientes
4. Sumas y restas

Ejemplo:

4 · [9·(8-6+4) -8 ] +2 · [ 24-2·(9+3-9) -3 ]

1° Inicialmente calculamos las expresiones que hay dentro de cada corchete, si dentro de un corchete hay algún paréntesis se opera dentro del paréntesis.

          4 · [9·(8-6+4) – 8] +2 · [24 –2·(9 +3 –9) –3]

2° Se quitan los paréntesis que hay dentro de cada corchete operando con su contenido.

          4 · [9 · 6 – 8] + 2 · [24 – 2 · 3 – 3]

3° Calculamos dentro de los corchetes

         4 · [54 – 8] + 2 · [24 – 6 – 3] = 4 · 46 + 2 · 15

4° Finalmente multiplicamos y sumamos, concediendo prioridad al producto

         184 + 30 = 214 

Diviértete pensando un rato

Los cuadrados mágicos fueron un pasatiempo muy popular.  Son cuadrados (mismas filas que columnas) de números con la particularidad de que sumados éstos en cualquier dirección –por filas, columnas o en diagonal– siempre se obtiene el mismo resultado.

Para construir un cuadrado mágico de nueve casillas, con los primeros nueve números naturales, se coloca el 5 en la casilla central y las cifras pares en las esquinas, de modo que las diagonales sumen lo mismo.  Ya sólo falta colocarlas cifras impares en las casillas vacías.

¿Puedes completar el siguiente recuadro utilizando los primeros 16 números naturales, de modo que sumados por filas, columnas y diagonales se obtenga siempre el mismo resultado?