TEMA 11 PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS PLANAS

TEMA No. 11

PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS PLANAS

Competencia a desarrollar: Construye modelos matemáticos y diversas estrategias, para comparar, representar y resolver situaciones con el uso del lenguaje algebraico y la geometría, como herramienta para la integración de los aprendizajes.

1. Introducción

El perímetro y el área son magnitudes fundamentales en la determinación de un polígono o una figura geométrica; se utiliza para calcular la frontera de un objeto, tal como una valla. El área se utiliza cuando podemos obtener la superficie interior de un perímetro que se desea cubrir con algo, tal como césped, cemento o fertilizantes.

Si observamos a nuestro alrededor encontramos muchas figuras geométricas planas cuyos límites son segmentos. Por ejemplo las baldosas, las ventanas, obras de arte, etc.

El cálculo de áreas y perímetros desempeña un papel muy importante en nuestra sociedad. Constantemente debemos calcular áreas: para embaldosar un piso, empapelar una pared, comprar tela para realizar una prenda, lotificar un terreno, etc.

En este tema haremos referencia al perímetro y área de las figuras planas que más se utilizan en nuestra vida diaria.

2. Perímetro de figuras planas

Perímetro es una palabra de origen griego que se descompone en peri, contorno, alrededor o frontera y metro, medida. Así, el perímetro es la longitud total que tiene el contorno de una figura.

El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados. Se simboliza con la letra P.

Rectángulo: Como un rectángulo está formado por dos pares de lados iguales, su perímetro está dado por:

P = 2a + 2b

Para el ejemplo de la figura:

P = 2(3) + 2(5)

P = 6 + 10

P = 16 cm

Cuadrado: El perímetro de un cuadrado es cuatro veces uno de sus lados, ya que el cuadrado tiene los cuatro lados iguales.

P = 4a

Para el ejemplo de la figura:

P = 4(5)

P = 20 cm

Triángulo: El perímetro de cualquier clase de triángulo es igual a la suma de sus tres lados.

P = a + b + c

P = 2 + 4 + 3

P = 9 cm

Paralelogramo: El perímetro de un paralelogramo es la suma de los cuatro lados. Como el paralelogramo tiene sus lados iguales dos a dos, su perímetro es el doble de la suma de los dos lados diferentes.

P = 2a + 2b

Para el ejemplo de la figura:

P = 2(5) + 2(6)

P = 10 + 12

P = 22 cm

Trapecio: El perímetro de un trapecio es la suma de sus cuatro lados (a, b, c y d), ya que pueden ser los cuatro diferentes.

P = a + b + c + d

Para el ejemplo de la figura:

P = 6 + 3 + 4 + 5

P = 18 cm

En el caso particular del trapecio isósceles, los lados oblicuos (c) son iguales. Por lo tanto, su perímetro será la suma de las bases más el doble del lado oblicuo (c).

P = a + b + 2c

Rombo: El rombo tiene sus cuatro lados iguales, por lo que su perímetro es cuatro veces la longitud de uno de sus lados (a).

P = 4a

Para el ejemplo de la figura:

P = 4(5)

P = 20 cm

Romboide: El perímetro de un romboide es la suma de sus cuatro lados. Como el romboide tiene los lados iguales dos a dos, su perímetro es el doble de la suma de los lados diferentes (a y b).

P = 2 (a + b), siendo a y b los dos lados diferentes.

Para el ejemplo de la figura:

P = 2 (4 + 8)

P = 2 (12)

P = 24 cm

Círculo: El perímetro de un círculo se llama circunferencia, es la longitud de la curva, es decir, la distancia que caminaría una persona que empezara a caminar en un punto de la circunferencia y diera una vuelta alrededor de la circunferencia hasta llegar al punto de partida. Para su cálculo se utiliza la fórmula siguiente:

P = 2 p r, que se lee: 2 veces pi por radio, recordando que el valor de p = 3.141592654…

Para el ejemplo de la figura cuyo r = 2 cm:

P = 2(3.141592654…) (2)

P = 12.566 = 12.57 cm

La longitud de la circunferencia también se puede calcular conociendo el diámetro, mediante la fórmula:

P = p D, que se lee: Pi por diámetro

Para el ejemplo de la figura cuyo D = 5 cm:

P = (3.141592654…) (5)

P = 15.70796 = 15.71 cm

Polígonos: Un polígono es una figura plana limitada por segmentos de rectas llamados lados.

El polígono es regular cuando todos sus lados son congruentes, es decir, todos sus lados miden lo mismo.

En general, un polígono es una extensión que está limitada por varios lados. El triángulo y los cuadriláteros son polígonos especiales.

Los polígonos reciben nombres especiales: si tiene 5 lados se le llama pentágono; 6 lados hexágono; 7 lados heptágono; 8 lados octágono; 9 lados nonágono; 10 lados decágono.

Por lo tanto, como estos polígonos sus lados miden lo mismo, para calcular el perímetro de uno de ellos, bastará con multiplicar la medida de un lado por la cantidad de lados, según el polígono que se trate.

Por ejemplo, si tenemos un heptágono cuyos lados miden 3 cm, el perímetro será:

P = n x l donde n = número de lados y l la medida de uno de los lados

P = 7(3) P = 21 cm

3. Áreas de figuras planas

Superficie y área: Por superficie de una figura plana se entiende la región del plano delimitada por el contorno (perímetro) de dicha figura. Mientras que área es la medida de una superficie y supone un criterio para determinar el tamaño de dicha superficie, utilizando como unidad un sistema de medida, (mm, cm, m, pulg, yd, km, etc) expresada al cuadrado.

Rectángulo: Para calcular el área de un rectángulo se multiplica su base por la altura, o dicho en otras palabras, multiplicando su largo por el ancho, así:

A = b * h

En el caso de la figura:

A = b * h

A = (5 cm) (3 cm)

A = 15 cm²

El área de un rectángulo también se puede calcular cuando únicamente se conoce un lado y la diagonal, ya que aplicando el teorema de Pitágoras se puede encontrar el valor del lado que falta; con esto completamos la medida del triángulo que forma la diagonal, y como un rectángulo está formado por dos triángulos iguales, automáticamente completamos las medidas que se necesitan para calcular el área del rectángulo.

Tomemos como ejemplo un rectángulo de quien conocemos el lado b = 4 cm y la diagonal (hipotenusa) = 5 cm. Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos el lado a.

h² = a² + b² → h² – b² = a² es decir que: a² = h² – b²

Calculamos:

a² = h² – b²

a² = 5² – 4²

a = √5² – 4² → a = √25 – 16 → a = √9

a = 3 cm

Esto significa que el rectángulo que estamos tratando está formado por dos triángulos iguales, cuyos lados miden a = 3 cm, b = 4 cm y h (hipotenusa) = 5 cm.

Por lo tanto, el área del rectángulo será:

A = base X altura

A = (4 cm) (3 cm)

A = 12 cm²

Cuadrado: El área de un cuadrado se calcula a partir de uno de sus lados (a). Es el producto de la base por la altura del cuadrado, ya que al ser ambas iguales, el área será un lado al cuadrado.

A = a², siendo a un lado del cuadrado.

Ejemplo:

Sea un cuadrado cuyos cuatro lados son todos iguales de longitud a = 5 cm. Su área será uno de sus lados elevado al cuadrado, es decir:

A = a² = (5 cm)², es decir, (5 cm) (5 cm)

A = 25 cm²

Triángulo: Antes de conocer la fórmula para encontrar el área de un triángulo, es necesario conocer el término altura de un triángulo. La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado que va desde el vértice opuesto a este lado (o a su prolongación). También puede entenderse como la distancia de un lado al vértice opuesto.

Hay tres alturas (h_a, h_b y h_c), según a qué lado está asociada dicha altura, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

La fórmula general para calcular el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de su base por su altura.

A = b * h

2

Área del triángulo equilátero: El triángulo equilátero tiene los tres lados iguales. Su área, como en todo triángulo será, un medio de la base (a) por su altura. En el triángulo equilátero viene definida por la siguiente fórmula:

A = √3/4 x a², siendo “a” el lado del triángulo

Ejemplo:

Calcular el área de un triángulo equilátero de 10 cm de lado.

A = √3 10² → A = 0.433 (100)

4

A = 43.3 cm²Área del triángulo isósceles: El área de un triángulo isósceles, como en todo triángulo, será un medio de la base (b) por su altura. En el triángulo isósceles se calcula mediante la siguiente fórmula:

A = b √a² – b²/4, donde a es uno de los lados iguales

2 y b el otro lado.

Ejemplo:

Calcular el área de un triángulo isósceles cuyas medidas son las que se muestran en la siguiente gráfica:

A = 2 √3² – 2²/4 → A = 2 √9 – 4/4 → A = 2 √9 – 1

2 2 2

Como el dos aparece multiplicando en el numerador y dividiendo (denominador), entonces se elimina.

A = √8 = 2.8284 El área del triángulo isósceles es de 2.83 cm²

Área de un triángulo escaleno: Para calcular el área de un triángulo escaleno, se emplea la fórmula general para calcular áreas de triángulos, es decir:

A = b * h

Ejemplo:

Calcular el área de un triángulo escaleno cuya base mide 3 cm y la altura es de 1.935 cm

A = b * h → A = 3 * 1.95 = 2.9 cm²

2 2

En algunos casos se requiere calcular el área de cualquier triángulo, conociendo solo la medida de sus tres lados. En estos casos se utiliza la fórmula de Herón:

A = √s(s – a) (s – b) (s – c) donde s = ½ (a + b + c)

Ejemplo:

Sea un triángulo escaleno de lados conocidos, siendo éstos a=2 cm, b=4 cm y c=3 cm. Calcular su área empleando la fórmula de Herón.

Paso 1: Se calcula el valor de s.

s = ½ (a + b + c) → s = ½ (2 + 4 + 3) → s = 4.5

Paso 2: Se calcula s – a, s – b y s – c

s – a = 4.5 – 2 = 2.5

s – b = 4.5 – 4 = 0.5

s – c = 4.5 – 3 = 1.5

Paso 3: Se aplica la fórmula de Herón

A = √s(s – a) (s – b) (s – c) → A = √4.5(2.5) (0.5) (1.5) → A = √8.4375 → A =2.9

Y se obtiene que su área es 2.9 cm².

Paralelogramo: La fórmula para el área de un paralelogramo es base por altura, igual que la fórmula para el área de un rectángulo, es decir, A = b x h. Para comprobarlo, se te invita a visitar el enlace:

es.khanacademy.org/math/basic-geo/basic-geo-area-and-perimeter/parallelogram-area/a/area-of-parallelogram

Para calcular el área de un paralelogramo, hay que conocer la longitud de la altura relativa a uno de sus lados.

Sea la base el lado b y la altura (h) relativa a la base. El área del paralelogramo es el producto de la base y la altura, tal como se indicó con anterioridad.

Ejemplo:

Calcular el área de un paralelogramo cuya base (b) mide 3 cm y su altura (h) es de 2 cm, tal como se muestra en la siguiente figura.

A = b x h

A = 3 x 2

A = 6 cm²

Trapecio: El área de un trapecio se calcula a partir de su altura y los dos lados paralelos (a y b) o bases del trapecio. Es el resultado de multiplicar su altura (h) y la mediana del trapecio, que se obtiene como la media de las dos bases a y b: M = (a+b)/2.

Su fórmula es la siguiente:

A = h * a + b

Ejemplo:

Encontrar el área de un trapecio que cuenta con una base de 10cm, otra de 8 cm y una altura de 4 cm, tal como se muestra en la siguiente gráfica.

A = h * a + b = 4 x 10 + 8 = 4 x 18 = 4 x 9 = 36
2 2 2

A = 36 cm²Rombo: Un rombo es un paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales. Existen varias fórmulas para calcular el área de un rombo. La más común es mediante las dos diagonales del rombo. El área es la mitad del producto de las diagonales (D y d).

A = D x d

Donde D y d son las diagonales del rombo.

Otra forma de calcular el área del rombo es mediante la fórmula del área del paralelogramo. En este caso, un lado (a) se considera la base del rombo. Se mide la altura (h) relativa a dicha base, de manera que el área será el producto de la base por la altura.

A = a x h

Siendo a la base y h la altura relativa a la base.

Ejemplo 1:

Sea un rombo que se conoce la longitud de sus dos diagonales (D y d), siendo la diagonal mayor D = 5 cm y la diagonal menor d = 3 cm.

Su área será un medio por el producto de las diagonales, es decir:

A = D x d = 5 x 3 = 8 = 4

2 2 2

A = 4 cm²

Ejemplo 2:

Sea un rombo que no se conocen sus diagonales, pero que se conocen sus lados y la altura relativa a un lado del rombo que ejerce de base.

Sea la base a = 7 cm y la altura h = 6 cm. Entonces el área del rombo será el producto de la base por la altura:

A = a x h = 7 x 6 = 42

A = 42 cm²

Romboide: El área de un romboide es el resultado de multiplicar un lado (b) que ejerce como base y la altura (h) relativa a este lado. Dicha altura es un segmento perpendicular a b que mide la distancia de b a su lado paralelo.

A = b x h

Siendo b la base y h la altura

Ejemplo:

Sea un romboide que se conoce la longitud de uno de sus lados (b = 10 cm) y la altura del romboide relativa al lado b (h = 4 cm).

Su área será el producto del lado b y su altura relativa h:

A = b x h = 10 x 4 = 40

Y se obtiene que el área del romboide es: A = 40 cm²

Círculo: El área de un círculo es igual al valor de su radio elevado al cuadrado multiplicado por pi (p).

A = p r² = p D²

También se puede calcular el área conociendo el diámetro del círculo (D), ya que éste es el doble del radio.

Ejemplo:

Sea un círculo de radio conocido, siendo éste r = 2 cm.

Aplicamos la fórmula anterior:

A = p r² = 3.1415… 2² = 12.566

A = 12.57 cm²

Ejemplo 2:

Ahora supongamos que tenemos un círculo de diámetro conocido D = 5 cm.

¿Cuál es su área?

A = p D² = 3.1415… 5² = 19.634

4 4

A = 19.63 cm²

Polígonos: Antes de calcular el área de un polígono, es necesario conocer el término apotema. Se le llama apotema de un polígono (a) a la recta que parte del centro a uno de los lados del polígono y perpendicular a dicho lado.

El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto de su perímetro por su apotema.

A = P x a

Ejemplo 1:

Hallar el área de un hexágono regular de 3 cm de lado y 2.6 de apotema.

A = P x a = perímetro (3 x 6) x apotema (2.6) = 18 x 2.6 = 46.8 = 23.4

2 2 2 2

A = 23.4 cm²

Ejemplo 2:

Hallar el área de un pentágono regular de 2.2 cm de lado y 2.4 cm de apotema.

A = P x a = perímetro (2.2 x 5) x apotema (2.4) = 11 x 2.4 = 26.4 = 13.2

2 2 2 2

A = 13.2 cm²