TEMA 6 RAZONES
TEMA No. 6
RAZONES
Competencia a desarrollar: Reconoce una razón a través de la comparación de dos cantidades, utilizando modelos matemáticos y razonamiento lógico aplicados a lo habitual en relación a su formación profesional con otras materias.
1. Razones
Una de las situaciones matemáticas más frecuente ha sido, sin duda, la de relacionar dos cantidades: lo hemos hecho al sumarlas y restarlas, o al multiplicarlas y dividirlas. En particular, al relacionarlas mediante la resta y la división, estamos comparándolas. Hay, pues, dos tipos de comparaciones entre números: las que nos permiten averiguar cuál es el mayor calculando la diferencia existente entre ambos, o bien, calculando cuántas veces el mayor contiene al menor. En la primera situación hablamos de comparaciones o relaciones aditivas y en la segunda, de relaciones multiplicativas.
La razón o relación de dos cantidades es el resultado de comparar dos cantidades.
Dos cantidades pueden compararse de dos maneras: Hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas, o hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas.
Por consiguiente, en las matemáticas la razón es una relación binaria entre magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas,unidades del Sistema Internacional de medidas SI, etc.), generalmente se expresa como "a es a b" o a:b. En el caso de números toda razón se puede expresar como una fracción y eventualmente como un decimal.
Hablamos así de la razón “dos a tres”, “1 a 10”, “7 a 4”, etc. Por ejemplo, si en un grupo de personas hay 18 hombres y 27 mujeres, diremos que la razón entre el número de hombres y el de mujeres es de “2 a 3”, es decir, que “hay 2 hombres por cada 3 mujeres”. En este caso, la razón entre el número de mujeres y el de hombres es la inversa, de “3 a 2”, es decir, que “hay 3 mujeres por cada 2 hombres”.
Existen dos tipos de razones:
Razón aritmética o por diferencia
La razón aritmética o por diferencia de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades.
Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos. Separando las cantidades por el signo – o con uno o dos puntos (:), éste último el más común.
Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó 6:4 y se lee seis es a cuatro.
Los términos de la razón se llaman antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 6 – 4, el antecedente es el 6 y el consecuente 4.
Razón geométrica o por cociente
La razón geométrica o por cociente de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades.
Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: en forma de fracción o separadas las cantidades por el signo de la división (÷).
Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe: 8 u 8÷4, y se lee ocho es a cuatro.
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Los términos de la razón geométrica se llaman de igual forma que en las razones aritméticas, es decir, antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8÷4, el antecedente es el ocho y el consecuente 4.
2. La aritmética de las razones
O dicho de otra manera, ¿qué operaciones aritméticas pueden hacerse con las razones? ¿Pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse como, por ejemplo, las fracciones? ¿Qué sentido pueden tener estas operaciones con razones?
De entrada, digamos que no pueden sumarse (ni, por consiguiente, restarse). Sin embargo, en algunos textos se afirma lo contrario y se sugieren situaciones como ésta: “Un jugador de baloncesto acierta 7 tiros de cancha y falla 5 en un partido; en el siguiente juego, acierta 3 y falla 6. ¿Cuál es la razón de tiros acertados a fallados en el conjunto de los dos partidos?”. Y se responde así: “los tiros acertados son 7 + 3 = 10, y los fallados, 5 + 6 = 11; la razón solicitada es 10/11, que puede ser obtenida mediante la siguiente “suma” de razones: 7/5 + 3/6 = (7 + 3/5 + 6) = 10/11. Y ése es el algoritmo de la suma de razones, diferente al de la suma de fracciones”. Evidentemente, la respuesta 10/11 es correcta (acierta 10 tiros por cada 11 que falla) porque los números que entran en las razones de cada juego (7, 5, 3, y 6) son las mismas cantidades de tiros acertados y fallados. Pero, ¿qué ocurre si la segunda razón (3/6) se expresa reducida en la forma 1⁄2 (obsérvese que esto se puede hacer, ya que “3 es a 6” equivale a “1 es a 2”)? En este caso, la “suma” debería ser (7 +1)/(5 + 2) = 8/7 (acierta 8 tiros por cada 7 que falla), lo cual no es cierto. De modo que la razón “suma” dependería de la forma (reducida o amplificada) en que se presenten las razones “sumandos”, lo que anula la posibilidad de hablar de una verdadera operación de adición.
Por lo tanto, no es correcto hablar de la suma de razones. Para hallar la razón entre dos magnitudes a lo largo de varias situaciones (por ejemplo, la razón del número de niños al de niñas en el conjunto de varias aulas de una escuela), lo que deben “sumarse” por separado son las cantidades de cada uno de los grupos, niños y niñas, y obtener luego la razón definitiva; ésta es la única manera de evitar confusiones y posibles errores. Así, pues, sumar razones no tiene sentido, como sí lo tiene en cambio sumar fracciones, ya que aquí se agregan partes de un mismo todo.
Pero en lo que respecta a la multiplicación de razones, esta operación sí puede tener sentido. Por ejemplo, si en una reunión la razón de personas de la provincia del Norte con respecto a la del Centro es 3/7, y la razón de personas de la provincia del Centro con respecto a la del Sur es 2/5, podemos preguntarnos cuál será la razón de personas de la provincia del Norte con respecto a la del Sur.
Para resolver esta situación podemos considerar la primera razón como 6 a 14, y la segunda como 14 a 35; es decir, hemos buscado que el segundo término de la primera coincida con el primer término de la segunda razón. Ahora puede inferirse que la razón de personas de la provincia del Norte con respecto a la del Sur es 6/35 (¿por qué?). Este resultado equivale a haber multiplicado entre sí los primeros términos de las dos razones (3 x 2 = 6) y, también entre sí, los segundos términos (7 x 5 = 35).
Por consiguiente, dadas la razón de una magnitud respecto a una segunda, y la razón de esta última con respecto a una tercera, la razón que corresponde a la primera magnitud con respecto a la tercera se obtiene “multiplicando” las dos primeras como si se tratara de dos fracciones (en realidad estamos manejando las razones como operadores, de una forma similar a como lo hacíamos con las fracciones).
Ejemplo:
En las elecciones presidenciales de cierto país, la razón del número de votos del candidato A con respecto al candidato B es 2/3; y la de B con respecto al candidato C, 5/7. Se desea saber si la votación de A llegó a la mitad de la de C.
Como antes, busquemos la razón entre el número de votos de A y C. Esta razón vendrá dada por:
2 x 5 = 2x5 = 10
3 7 3x7 21
es decir, por cada 10 votos de A, C obtiene 21. De donde se desprende que la votación de A no llegó a la mitad de la de C.
3. Propiedades de las razones
Propiedades de las razones aritméticas o por diferencia
Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, sus propiedades serán las mismas que rigen a toda resta, así:
1) Si al antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.
2) Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón queda disminuida (si se le suma) o aumentada (si se le resta) en el mismo número.
3) Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varía.
Propiedades de las razones geométricas o por cociente
Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o una fracción, sus propiedades serán las mismas que de las fracciones, es decir:
1) Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
2) Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida (si se multiplica) o multiplicada (si se divide) por ese mismo número.
3) Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplica o dividen por un mismo número, la razón no varía.
Ejemplos
1) Hallar la razón aritmética entre 10 y 6.
Solución:
Se escribe 10 – 4
2) Hallar la razón geométrica entre 14 y 7
Solución:
Se escribe 14÷7 ó 14
7
Ejemplos de aplicación a situaciones de la vida diaria
Ejercicios resueltos: Interpreta los siguientes enunciados. Realiza razones geométricas.
1. En una sala hay diez sillas y dos escritorios. La razón de las sillas a los escritorios es de diez a dos, lo que simbolizaremos por 10 : 2 ó 10
2
2. Adriana en este inicio de semestre gastó Q600 en papelería (cuadernos, plástico para forrar, tijeras, plumas, lapiceros, etc.), mientras que Marco gastó Q400 por el mismo concepto.
R = 600 = 1.5, es decir, el valor que canceló Adriana es 1.5 veces mayor que el que canceló Marco.
400
3. El matrimonio Sánchez Aguilar tiene 3 hijos: 2 niños y una niña. Mientras que el matrimonio Guerrero Fontes tiene 4 hijos: 3 niñas y 1 niño.
R niños = 2 = 2, es decir, por cada 2 niños que tiene la familia Sánchez, la familia Guerrero tiene 1 niño
1
R niñas = 3, es decir, por cada 1 niña que tiene el primer matrimonio, el segundo tiene 3 (no tiene sentido realizar la
1 división ya que estamos hablando de cantidad de personas)
4. En el mes de julio a la Sra. Elba Surero la tarjeta de crédito Bancomer le cobró el 3.83% de intereses (tasa mensual) mientras que la tarjeta de crédito Banamex le cobró el 1.61% de intereses (tasa mensual).
R = 3.83 = 2.378 = 2.38, lo que significa que la primera tarjeta le cobró 2.38 veces más caro que la segunda
1.61 tarjeta.
Ejercicios propuestos
1) Una taza llena al ras contiene 150g de harina y tiene 240g de azúcar.
a) ¿Cuál es la razón entre la cantidad de harina y azúcar que puede contener la taza?
b) ¿Cuál es la razón entre la cantidad de harina y azúcar que pueden contener 2 tazas? y, ¿tres tazas?
2) Teresa es profesora de educación física y en el mes de febrero compró 4 pares de zapatos para futbol en Q1200, si el profesor Francisco compró 5 pares de los mismos zapatos:
a) ¿Cuánto pagó por ellos el profesor Francisco?
b) ¿Qué relaciones encontraste?
c) ¿Cómo resolviste el problema?
Diviértete y aprende sobre la aplicación razones en la vida cotidiana viendo el vídeo del siguiente enlace:
Referencias
Biliografía:
Baldor, Aurelio. (1997). Aritmética. Publicaciones Cultural, S.A. de C.V. México D.F. 576p. ISBN 968-439-211-7
Casiá, F, Palencia, I, Guinter, R & Palala, Z. (2011). Matemática 8. Editorial Santillana. Guatemala
Enciclopedia Audiovisión Educativa. Matemática. Vol. 1. Océano Multimedia. España.
e-Grafía:
https://es.scribd.com/doc/38569213/RAZONES-ARITMETICAS
https://es.wikipedia.org/wiki/Raz%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)
http://www.feyalegria.org/images/acrobat/11razonesyprop_157.pdf