LA MATEMATICA DA INTELEGENCIA Y LA INTELIGENCIA DA BELLEZA
TEMA 8 SISTEMAS DE NUMERACIÓN
TEMA No. 8
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Competencia a desarrollar: Aplica estrategias matemáticas que le permitan comparar, representar y resolver situaciones de la vida cotidiana a través de la utilización del sistema de numeración, estableciendo la relación con otros cursos de aprendizaje.
1. Introducción
Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en bastones, nudos en una cuerda y algunas otras formas para ir pasando de un número al siguiente. A medida que la cantidad crece se hace necesario un sistema de representación más práctico.
En diferentes partes del mundo y en distintas épocas se llegó a la misma solución, cuando se alcanza un determinado número se hace una marca distinta que los representa a todos ellos. Este número es la base. Se sigue añadiendo unidades hasta que se vuelve a alcanzar por segunda vez el número anterior y se añade otra marca de la segunda clase. Cuando se alcanza un número determinado (que puede ser diferente del anterior constituyendo la base auxiliar) de estas unidades de segundo orden, las decenas en caso de base 10, se añade una de tercer orden y así sucesivamente.
Desde hace 5000 años la gran mayoría de las civilizaciones han contado en unidades, decenas, centenas, millares etc. es decir de la misma forma que seguimos haciéndolo hoy. Sin embargo la forma de escribir los números ha sido muy diversa y muchos pueblos han visto impedido su avance científico por no disponer de un sistema eficaz que permitiese el cálculo.
El sistema actual fue inventado por los indios y transmitido a Europa por los árabes. Del origen indio del sistema hay pruebas documentales más que suficientes, entre ellas la opinión de Leonardo de Pisa (Fibonacci) que fue uno de los introductores del nuevo sistema en la Europa de 1200. El gran mérito fue la introducción del concepto y símbolo del cero, lo que permite un sistema en el que sólo diez símbolos puedan representar cualquier número por grande que sea y simplificar la forma de efectuar las operaciones.
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos en el sistema.
Cualquier sistema consta fundamentalmente de una serie de elementos que lo conforman, una serie de reglas que permite establecer operaciones y relaciones entre tales elementos. Por ello, puede decirse que un sistema de numeración es el conjunto de elementos (símbolos o números), operaciones y relaciones que por intermedio de reglas propias permite establecer el papel de tales relaciones y operaciones.
Un sistema de numeración puede representarse como:
Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.
Los hombres supieron asociar tempranamente a una colección de objetos un grupo de signos o de cosas: trazos marcados en la madera, en un hueso o en la arena, montones de piedras, gestos con la mano o con la cabeza, etc. Así, los pastores sumerios llevaban la cuenta de los nacimientos, pérdidas, compras y ventas de sus ovejas representando cada animal del rebaño mediante un cono de arcilla (calculi) colocado en una envoltura de arcilla. La economía, más compleja, de las primeras aglomeraciones urbanas de la Baja Mesopotamia eligió un sistema más elaborado: se imprimieron sobre la envoltura de arcilla signos que representaban los mismos signos que los calculi. Estos últimos, que ya no tenían razón de ser, fueron poco a poco suprimidos, y las envolturas reemplazadas por las primeras tablillas, numerales. Por tanto, las primeras numeraciones escritas aparecieron al mismo tiempo que las primeras formas de escritura, en Mesopotamia hacia 3300 a. J. C. y en Egipto hacia 3200 a. J. C.
3. Sistema de numeración de base 10
El sistema decimal es un sistema de numeración posicional en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de diez cifras diferentes, siendo éstas: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9).
Según los antropólogos, el origen del sistema decimal está en los diez dedos que tenemos los humanos en las manos, los cuales siempre nos han servido de base para contar.
El sistema decimal es un sistema de numeración posicional, por lo que el valor del dígito depende de su posición dentro del número. Así:
347 = 3x100 + 4x10 + 7x1 = 3x102 + 4x101 + 7x100
Como es sabido, los números decimales se pueden representar en la recta de los números reales.
4. Sistema binario
El sistema binario, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, pues trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).
El sistema de numeración binario solo tiene dos dígitos. El sistema binario con sus dos dígitos es un sistema en base dos. Los dígitos binarios (bits) son 0 y 1.
La posición de un 1 o de un 0 en un número binario indica su peso, o valor dentro del número, así como la posición de un dígito decimal determina el valor de ese dígito.
Los pesos de un número binario están basados en las potencias de dos.
Por ejemplo, se requieren cuatro bits para contar desde 0 hasta 15. En general, con n bits se puede contar hasta un número igual a 2n-1.
Máximo número decimal = 2n-1
Así, con 5 bits (n = 5) se puede contar desde 0 hasta 31: 25 –1 = 32 –1 = 31. Con 6 bits (n = 6) se puede contar desde 0 hasta 63: 26-1 = 64 –1 = 63.
Sistema de numeración binario
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Número decimal
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Número Binario
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0
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0 0 0 0
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|
1
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0 0 0 1
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2
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0 0 1 0
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3
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0 0 1 1
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4
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0 1 0 0
|
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5
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0 1 0 1
|
|
6
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0 1 1 0
|
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7
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0 1 1 1
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8
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1 0 0 0
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9
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1 0 0 1
|
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10
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1 0 1 0
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11
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1 0 1 1
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12
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1 1 0 0
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13
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1 1 0 1
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14
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1 1 1 0
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15
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1 1 1 1
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Y así sucesivamente obtendríamos todos los números en orden ascendente de su valor, es decir obtendríamos el Sistema de Numeración Binario y su número equivalente en decimal.
Pero qué pasaría si quisiera saber el número equivalente en binario al 23,456 en decimal. Tranquilo, hay un método para convertir un número decimal en binario sin hacerlo uno a uno.
Pero qué pasaría si quisiera saber el número equivalente en binario al 23,456 en decimal. Tranquilo, hay un método para convertir un número decimal en binario sin hacerlo uno a uno.
Pasar de Decimal a Binario:
Para hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el número decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la división es par y un 1 si es impar).
Para sacar la cifra en binario cogeremos el último cociente (siempre será 1) y todos los restos de las divisiones de abajo arriba, orden ascendente.
Ejemplo: queremos convertir el número 28 a binario:
28 dividimos entre 2: Resto 0
14 dividimos entre 2: Resto 0
7 dividimos entre 2: Resto 1
3 dividimos entre 2: Resto 1 y cociente final 1
Entonces el primer número del número equivalente en binario sería el cociente último que es 1 y su resto que es también 1, la tercera cifra del equivalente sería el resto de la división anterior que es 1, el de la anterior que es 0 y el último número que cogeríamos sería el resto de la primera división que es 0.
Con todos estos números quedaría el número binario: 11100.
Conclusión, el número 28 es equivalente en binario al 11100.
Vemos como para sacar el equivalente se coge el último cociente de las operaciones y los restos que han salido en orden ascendente (de abajo arriba) 11100.
El subíndice 2 que hemos puesto al final del número en binario, es para indicar que es un número en base 2, pero no es necesario ponerlo.
Veamos otro ejemplo, el número 65 pasarlo a binario.
Pasar de Binario a Decimal:
Ahora al revés. ¿Qué pasaría si quisiera saber cuál es el número equivalente en decimal del número binario por ejemplo 1001? Pues también hay método.
Paso 1: Numeramos los bits de derecha a izquierda comenzando desde el 0 (muy importante desde 0 no desde 1).
Paso 2: Ese número asignado a cada bit o cifra binaria será el exponente que le corresponde.
Paso 3: Cada número se multiplica por 2 elevado al exponente que le corresponde asignado anteriormente.
Paso 4: Se suman todos los productos y el resultado será el número equivalente en decimal.
Vamos a verlo paso a paso con un ejemplo y gráficamente que será más sencillo de entender.
Ejemplo el número 1001 queremos saber su equivalente en decimal. Primero asignamos exponentes:
Empezamos por el primer producto, que será el del primer número binario por 2 elevado a su exponente, es decir 1 x 23
OJO: Recordemos que cualquier número elevado a cero es 1, por ejemplo 2 elevado a la potencia 0 es = 1.
El segundo y el tercer productos serán 0 por que 0 x 22 y 0 x 21 su resultado es 0 y el último producto será 1 x 20 que será 1, luego 1 x 20 es 1 (no confundir y poner 0).
Ya estamos en el último paso que es sumar el resultado de todos estos productos:
1 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9
El equivalente en decimal del número binario 1001 es el 9.
Veamos otro ejemplo solo gráficamente para que lo entiendas definitivamente. En este caso la asignación del exponente a cada número ya lo hacemos directamente en los productos, que es como se suele hacer normalmente.
Otro ejemplo con todos los datos:
5. Sistema de numeración maya (vigesimal).
Los mayas inventaron un sistema de numeración como modo de instrumento para medir el tiempo y no para hacer cálculos matemáticos, sus números se encuentran directamente relacionados con los días, meses y años.
Los mayas tuvieron un conocimiento matemático muy desarrollado, fueron los primeros pueblos en el mundo en descubrir y utilizar el número cero que representaban con este símbolo
Además fueron la primera civilización que desarrolló un sistema posicional. Esto es, un sistema matemático en el que el valor de una cifra vale según su posición (principio posicional explicado anteriormente). La cifra menor queda abajo.
Los tres símbolos básicos eran el punto, cuyo valor es uno; la raya, cuyo valor es cinco; y elcaracol, cuyo valor es cero.
Combinando estos símbolos se obtenían los números del 0 al 19, como puedes apreciar en la siguiente imagen.
Como puedes ver, en el sistema de numeración maya las cantidades son agrupadas de 20 en 20. De ahí que se le llame sistema vigesimal porque su base es el número 20.
El sistema de numeración maya esposicional, se escribe de abajo hacia arriba, a diferencia del decimal que se escribe de izquierda a derecha.
En el primer nivel van los símbolos que corresponden a los números del 0 al 19. Cuando se usa el primer nivel, el número ubicado en él se multiplica por 1 ya que el primer nivel equivale a la base a la cero potencia (b° = 1).
Cuando se usa el segundo nivel, el número ubicado en él se multiplica por 20 ya que el segundo nivel equivale a multiplicar por la base a la primera potencia (b¹ = 20).
Cuando se usa el tercer nivel, el número ubicado en él se multiplica por 400 ya que el tercer nivel equivale a multiplicar por la base a la segunda potencia (b² = 20 x 20 = 400).
Cuando se usa el cuarto nivel, el número ahí ubicado se multiplica por 8000 ya que equivale a multiplicar por la base a la tercera potencia (b³ =20 x 20 x 20 = 8,000).
Tal vez se te haga un poco difícil trabajar con la numeración en posición vertical. Puedes cambiar esta tabla por la que se a continuación.
Es ésta:
En donde los valores en base 20 quedan así:
Los cuatro ejemplos anteriores te quedarían así:
6. Ejercicios propuestos
Para que practiques, se te propone que resuelvas los siguientes ejercicios.
1) Convierte de Sistema Binario a Decimal los siguientes números: a) 10011110, b) 00010001, c) 00100110, d) 1110, e) 111011101110, f) 10110110, g) 0, h) 10, i) 1
2) Convierte de sistema decimal a sistema binario los siguientes números: a) 32, b) 147, c) 43, d) 80, e) 7512, f) 145, g) 1, h) 0, i) 19
3) Escribe la equivalencia de cada número decimal en numeración maya: a) 4, b) 20, c) 18, d) 385, e) 500. Para estos ejercicios puedes entrar al enlace:
e-Grafía: