LA MATEMATICA DA INTELEGENCIA Y LA INTELIGENCIA DA BELLEZA
TEMA 5 NÚMEROS RACIONALES
TEMA No. 5
NÚMEROS RACIONALES
Competencia a desarrollar: Construye modelos matemáticos y diversas estrategias, para comparar, representar y resolver situaciones con el uso del lenguaje algebraico y la trigonometría, como herramienta para la integración de los aprendizajes.
1. Números Racionales
Cuando vimos el conjunto de los números naturales, en la división exacta se destacó la condición necesaria de que el dividendo sea múltiplo del divisor para que el cociente sea un número natural. En el caso de las divisiones como 9 ÷ (– 4), los matemáticos trataron de solucionarlas con una nueva clase de números, llamados Racionales o fraccionarios, cuyo símbolo es Q.
El conjunto de los números racionales está formado por los números de la forma muy conocida para nosotros como lo es a/b o a, donde a y b son números enteros y b ≠ 0.
b
Como se indicó anteriormente, el conjunto de los números racionales se simboliza Q y se determina de la siguiente manera:
Q = {a/b / a, b ϵ Z, b ≠ 0}
Que se lee: El conjunto de los números racionales es igual a a partido (dividido) por b, tal que a y b pertenecen al conjunto de los números enteros, b no es igual a cero.
Recordemos que en un número racional o fracción, el denominador indica las partes iguales en que se ha dividido un todo y el denominador las partes que se han tomado de ese todo.
Por ejemplo, si tenemos 5/8 de una sandía, indica que esta fruta la hemos dividido en ocho partes iguales y se han tomado cinco partes.
Si en un encuentro reglamentario de futbol decimos que se han jugado 3/5 del encuentro, significa que el tiempo que dura el encuentro (90 minutos) se ha dividido en 5 partes (dividimos 90 ÷ 5 = 18 minutos c/parte) y se han jugado 3 partes (multiplicamos 3 X 18 = 54 minutos)
Representación en la recta numérica
Al igual que los números naturales y los números enteros, cada número racional tiene su representación en la recta numérica.
Tomemos como ejemplo los números: ½; 2 ¾; y –2/3
–2/3 ½ 2 ¾
l_____l_____l_____l_____l__.___l__.__l_____l___._l_____l____
–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4
2. Propiedades de números racionales
El signo de cada número racional está dado según el signo del numerador o del denominador y deben tenerse en cuenta las siguientes propiedades:
a) Si el signo del numerador o del denominador de un número racional es negativo, dicho número es negativo, es decir:
– a_ o a_ = _ _a_ Ejemplo: – 2_ o 2_ = _ _2_
b – b b 3 – 3 3
b) Si los signos del numerador y del denominador de un número racional son negativos, dicho número es positivo, de decir:
– a_ = _a_ Ejemplo: – 2_ = 2__
– b b – 3 3
c) Si los dos términos de una fracción se multiplican por un mismo número entero, la fracción resultante es equivalente a la primera y representa, el mismo numerador.
c) Si los dos términos de una fracción se multiplican por un mismo número entero, la fracción resultante es equivalente a la primera y representa, el mismo numerador.
a . n = c a = c 3 . 2 = _6_ 3 = _6_
b n d b d 5 2 10 5 10
b n d b d 5 2 10 5 10
Siempre es posible representar un número racional por una fracción de denominador positivo, ya que si fuera negativa, bastaría con multiplicar por -1 los dos términos de la fracción.
d) Si los dos términos de una fracción tienen un divisor común y se dividen por él, la fracción resultante es equivalente a la primera.
m ÷ a = _r → m = _r 4 ÷2 = _2_ → 4 = _2_
n a s n s 6 2 3 6 3
n a s n s 6 2 3 6 3
Un número natural puede representarse por una fracción cuyos dos términos son primos entre sí. A esta fracción se le llama irreducible y es representante canónico del número racional.
10 ÷ 5 = 3 → 3
15 5 2 2
15 5 2 2
Relación de orden entre los números racionales
La relación de orden en Q se define así: dados a/b y c/d ϵ Q, b, d ≠ 0, se puede presentar solo una de las siguientes relaciones:
a/b < c/d a/b > c/d a/b = c/d
Para determinar la relación de orden entre dos números racionales se transforman los números en fracciones equivalentes de igual denominador. Luego se determina la relación que existe entre sus numeradores. El número racional mayor es el que tiene el mayor numerador.
Por ejemplo: determinar el número mayor entre 3/8 y 1/4. Para que estos dos números tengan el mismo denominador se debe multiplicar el número racional que tenga el menor denominador por el número que sea necesario para igualar los denominadores, o bien, dividir el número racional de mayor denominador (tanto el numerador como el denominador), por el número que sea necesario para igualar los denominadores, con la condición que al dividir, el resultado debe ser un número entero.
3/8 y 1/4; igualamos el segundo número racional multiplicando la fracción por 2.
1/4 x 2 = 1x2/4x2 = 2/8. Con esto tenemos dos fracciones con el mismo denominador 3/8 y 4/8. Según la regla, 4/8 > 3/8 porque el numerador 4 es mayor que el numerador 3.
¿Por qué no se puede igualar las dos fracciones a un denominador = 4 como el de la primera fracción? La razón es bien sencilla; ésta es porque el denominador 8 entre 2 da un número entero “2”, mientras que 3 entre 2= 1.5 y éste último no es un número entero.
3. Operaciones con números racionales
La clave para la resolución de ejercicios y problemas de números enteros es la correcta aplicación de las propiedades que les rige.
Ejemplos:
Realizar las siguientes operaciones:
a) _ 2 + 3 _ 11
3 3 3
Solución:
Como tienen el mismo denominador, éste se copia y se suman o restan los numeradores según su signo.
_ 2 + 3 _ 11 = – 2 + 5 – 13 = _ 8
3 3 3 3 3
b) 1 + 5 _ 7
3 6 9
Solución:
Como tienen diferente denominador, se seca el mcm (3, 6, 9) = 18. Éste será el nuevo denominador de todas las fracciones, luego decimos:
18 ÷ 3 = 6 multiplicado por el numerador 1 = 6, nueva fracción equivalente = 6_
18
18 ÷ 6 = 3 multiplicado por el numerador 5 = 15, nueva fracción equivalente = 15_
18
18 ÷ 9 = 2 multiplicado por el numerador –7 = –14, nueva fracción equivalente = _ 14
18
Ahora las tres fracciones tienen el mismo denominador, operamos al igual que en el anterior:
6_ + 15 _ 14_ = 6 + 15 – 14 = 7_
18 18 18 18 18
c) 5 _ 7 + 9
4 8
Solución:
5 _ 7 + 9 = 5 _ 7 + 9 = 40 _ 14 + 9 = 35 mcm (1, 4, 
= 8
= 8 4 8 1 4 8 8 8 8 8
d) (–4/5) (–3/11)
Solución:
Se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador, recordando aplicar la ley de signos.
(–4/5) (–3/11) = (–4) (–3) = 12
(5) (11) 55
e) (4/13) ÷ (–5/2)
Solución:
Cuando se trata de una división de números fraccionarios, se puede multiplicar en forma cruzada, es decir, numerador del primer número racional por el denominador del segundo, formando el numerador de la nueva fracción y denominador del segundo número racional por el numerador del segundo, formando el denominador de la nueva fracción. La otra forma es invirtiendo el orden del segundo número racional.
(4/13) ÷ (–5/2) = (4/13) (–2/5) = (4) (–2) = _ 8__
(13) (5) 65
f) (2/7) (–3/8) (11/3)
Solución:
(2/7) (–3/8) (11/3) = (2) (–3) (11) = _ _66_ = _ 33 = _ 11
(7) (8) (3) 168 84 28
Operaciones combinadas
Para resolver operaciones combinadas con números racionales se deben tener en cuenta las mismas propiedades de los números enteros.
Si las operaciones no incluyen signos de agrupación, se resuelven primero las multiplicaciones y divisiones indicadas en su respectivo orden. Luego se efectúan las sumas y restas correspondientes.
Si las operaciones incluyen signos de agrupación, éstos se eliminarán de adentro hacia afuera y se efectúan las operaciones indicadas dentro de ellos.
Ejemplos
Realizar las siguientes operaciones:
a) 1 x 5 + 1 ÷ 3 _ 11
3 6 3 7 3
Solución:
1 x 5 + 1 ÷ 3 _ 11
3 6 3 7 3
1 x 5 y 1 ÷ 3 1 x 5 = 5_ y 1 ÷ 3 = 7, ahora la operación queda así:
3 6 3 7 3 6 18 3 7 9
5_ + 7 _ 11
18 9 3
5_ + 7 _ 11 = 5 + 14 – 66 = _ 47 mcm (18, 9, 3) = 18
18 9 3 18 18
b) 2 + {31/33 – [(2/3) ÷ (2/5 + 1/3)]}
Solución:
De primero operamos (2/5 + 1/3) = 6 + 5 = 11 mcm (5, 3) = 15, ahora la operación queda:
15 15
2 + {31/33 – [(2/3) ÷ (11/5)]}, operamos (2/3) ÷ (11/15)
(2/3) ÷ (11/5) = (2) (15) = 30 , eliminamos corchetes y paréntesis, con esto la operación
(3) (11) 33 queda de la siguiente forma:
2 + {31/33 – 30/33}, operamos {31/33 – 30/33} = 31 – 30 = _1_, y eliminamos las llaves
33 33
Únicamente falta operar:
2 + _1_ = 66 + 1 = 67
33 33 33
Ejemplo de aplicación de números racionales
Un profesor de Educación Física organizó una mañana deportiva con los alumnos de la escuela donde imparte clases. Para compartir con dichos alumnos, una empresa de bebidas hidratantes le obsequió un barril conteniendo hidratante. En la primera ocasión se extrajeron 3/4 partes, luego la tercera parte (1/3) de lo que quedó y por último los 60 litros que quedaron al final. ¿Cuántos litros de hidratante contenía el barril?
Solución:
Como estrategia, se representan los datos en una tabla:
|
Paso
|
Se extrae
|
Quedan
|
|
1
|
3/4
|
4/4 – 3/4 = 1/4
|
|
2
|
1/3 de 1/4 = 1/3 X 1/4 = 1/12
|
12/12 – (3/4 + 1/12)
|
|
3
|
60 litros
|
|
Se calcula lo que queda después de la segunda extracción:
12/12– (3/4 + 1/12) = 12/12 – (9/12 + 1/12) = 2/12 = 1/6 = los 60 litros que se extrajeron de último.
Como 1/6 equivale a 60 litros, 6/6 (total del barril) equivale a 60X6 = 360 litros.
Respuesta: El barría contenía 360 litros de hidratante.
A practicar se ha dicho
Para ello se te invita a visitar el siguiente enlace:
www.vitutor.com/di/r/a_a.html
www.vitutor.com/di/r/a_a.html
REFERENCIAS
Bibliografía:
Casiá, F, Palencia, I, Guinter, R & Palala, Z. (2011). Matemática 8. Editorial Santillana. Guatemala
Enciclopedia Audiovisión Educativa. Matemática. Vol. 1. Océano Multimedia. España.
Ranferi, C. (2017). Apuntes de Matemáticas 1. Universidad de San Carlos de Guatemala. Guatemala.
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